شرح المتطابقات والتحليل الجبري في القدرات الكمي رغم عنوانه، يدور العرض حول الجبر الأساسي الذي يحتاجه القسم الكمي: المتطابقات الشهيرة (مربع المجموع، مربع الفرق، الفرق بين مربعين)، وتحليل ثلاثية الحدود، والعمليات على الحدود الجبرية (جمع المتشابهة، ضرب وقسمة ذات الأسس، التوزيع)، ثم تطبيقات: إيجاد أ²+ب² أو أب من معادلتين، والتعويض، ومقارنة قيم عددية. في القدرات تأتي هذه المهارات غالبًا في صورة «بسّط» أو «أوجد قيمة المقدار» أو «قارن بين القيمتين»، والحل الأسرع يكون بالمتطابقة لا بالحساب المباشر.
القاعدة الذهبية: قبل أن تحسب، ابحث عن المتطابقة: (أ±ب)²=أ²±2أب+ب² و أ²−ب²=(أ+ب)(أ−ب)؛ ولا تنسَ الحد الأوسط 2أب أبدًا.
طريقة الحل حدد شكل المقدار: مربع مجموع/فرق، فرق مربعين، ثلاثية حدود، أو حدود تحتاج توزيعًا طبّق المتطابقة المناسبة أو وزّع الأقواس مع إشاراتها اجمع الحدود المتشابهة فقط (نفس المتغير ونفس الأس) في المعادلتين: اجمع أو اطرح لإيجاد المجهولين، أو استعمل المتطابقة مباشرة اقرأ المطلوب مرة أخيرة: س أم س+ص، أ²+ب² أم أب خريطة القواعد المتطابقات الشهيرة مربع مجموع حدّين (٦ سؤالاً) فك (أ+ب)² واستعماله في الحساب والمقارنة
القاعدة مربع مجموع حدين = مربع الأول + مثلي حاصل ضربهما + مربع الثاني: (أ+ب)²=أ²+2أب+ب². مثال العرض: (س+4)²=س²+8س+16. المقارنة بعد الفك في «قارن» فك القوس ثم احذف المشترك: (أ+ب)² تزيد على أ²+2أب بمقدار ب²، و (م+3)² تزيد على م²+6م بـ 9. حساب مربعات الأعداد ذهنيًا اكتب العدد قريبًا من عدد مدوّر: 51²=(50+1)²=2500+100+1=2601. تدرّب على أسئلة مربع مجموع حدّين
مربع الفرق بين حدّين (٦ سؤالاً) فك (أ−ب)² وانتباه إشارة الحد الأوسط
القاعدة (أ−ب)²=أ²−2أب+ب²: الأوسط سالب والأخير موجب دائمًا. مثال: (س−3)²=س²−6س+9، و (2س−3)²=4س²−12س+9. تبديل الحدين (أ−ب)²=(ب−أ)² لأن مربع السالب موجب، و (س−1)² يساوي س²−2س+1 لكل س. تدرّب على أسئلة مربع الفرق بين حدّين
مربعا المجموع والفرق (٥ سؤالاً) تبسيط مقادير تجمع (أ+ب)² و (أ−ب)²
طرح المربعين (أ+ب)²−(أ−ب)²=4أب. لذا (2أ+ب)²−(2أ−ب)²=8أب و 2(أ+ب)²−2(أ−ب)²=8أب. جمع المربعين (أ+ب)²+(أ−ب)²=2أ²+2ب² (الحدود الوسطى تُلغى). أي حد إضافي مثل −2س ص يبقى كما هو. تدرّب على أسئلة مربعا المجموع والفرق
الفرق بين مربعين (٥ سؤالاً) (أ+ب)(أ−ب)=أ²−ب² في الاتجاهين
الضرب حاصل ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما = مربع الأول − مربع الثاني: (س+5)(س−5)=س²−25. التحليل أ²−ب²=(أ+ب)(أ−ب): س²−16=(س+4)(س−4). اختصار الحساب 53²−47²=100×6=600، و 101×99=100²−1=9999. تدرّب على أسئلة الفرق بين مربعين
التحليل والعمليات على الحدود تحليل ثلاثية حدود (٥ سؤالاً) كتابة س²+ب س+ج على صورة (س+م)(س+ن)
القاعدة نبحث عن عددين م، ن حيث م+ن=ب و م×ن=ج. مثال: س²+6س+8=(س+2)(س+4)، و س²+7س+10=(س+5)(س+2). الإشارات ج موجب ⇐ العددان بإشارة ب نفسها؛ ج سالب ⇐ إشارتان مختلفتان والأكبر يأخذ إشارة ب: س²+س−12=(س+4)(س−3). تدرّب على أسئلة تحليل ثلاثية حدود
الحدود المتشابهة (٥ سؤالاً) تمييز الحدود المتشابهة وجمعها
التعريف تكون الحدود متشابهة إذا كان لها نفس المتغير ونفس الأس، مثل 4س² و −7س². الجمع والطرح لا تُجمع ولا تُطرح إلا الحدود المتشابهة، والأس لا يتغير: 3س+5س−2س=6س، 4س²−7س²=−3س². تدرّب على أسئلة الحدود المتشابهة
ضرب وقسمة ذات الأسس (٥ سؤالاً) ضرب المعاملات وجمع الأسس، وقسمتها وطرح الأسس
الضرب نضرب المعاملات ونجمع أسس الرموز المتشابهة: 2س³×4س²=8س^5. القسمة نقسم المعاملات ونطرح الأسس (أس البسط − أس المقام): (12س^5/3س²)=4س³. تدرّب على أسئلة ضرب وقسمة ذات الأسس
قاعدة التوزيع (٥ سؤالاً) توزيع الضرب على الجمع والطرح
القاعدة الضرب يوزّع على كل حد داخل القوس: 3(س+4)=3س+12. العامل السالب السالب يوزّع مع العدد: 3س(س+4)−2(س−1)=3س²+12س−2س+2=3س²+10س+2. تدرّب على أسئلة قاعدة التوزيع
تطبيقات ومقارنات قيمة مقدار من معادلتين (٦ سؤالاً) إيجاد أ²+ب² أو أب من معادلتين خطيتين
الحذف بالجمع أو الطرح اجمع المعادلتين إذا تعاكس معامل أحد المجهولين، واطرح إذا تساوى. مثال: أ+ب=10، أ−ب=2 ⇐ أ=6، ب=4 ⇐ أ²+ب²=52. الاختصار بالمتطابقة أ²−ب²=(أ+ب)(أ−ب) تُحسب مباشرة دون إيجاد أ، ب؛ و أ²+ب²=(أ+ب)²−2أب. تدرّب على أسئلة قيمة مقدار من معادلتين
التعويض لإيجاد المجهول (٤ سؤالاً) تعويض قيمة معلومة لإيجاد المجهول الآخر
الطريقة عوّض القيمة ثم انقل الثابت ثم اقسم على المعامل: 3س+1=13 ⇐ س=4؛ 5س−4=19 ⇐ س=4.6. تدرّب على أسئلة التعويض لإيجاد المجهول
قيم عددية ومقارنة (٤ سؤالاً) حساب مقادير عددية ومقارنتها ذهنيًا
الجذور داخل القوس احسب ما داخل القوس أولًا: (√(25)+√(9))²=(5+3)²=64، وليس 25+9. المقارنة العددية احسب كل طرف ثم قارن: 8888−8788=100>88=88×1. تدرّب على أسئلة قيم عددية ومقارنة
جداول المقارنة مقارنة المتطابقات الثلاث المتطابقة المفكوك الحد الأوسط (أ+ب)² أ²+2أب+ب² +2أب (أ−ب)² أ²−2أب+ب² −2أب (أ+ب)(أ−ب) أ²−ب² لا يوجد
للحسم: إذا رأيت قوسين متطابقين ⇐ مربع (له حد أوسط)؛ قوسين يختلفان في الإشارة فقط ⇐ فرق مربعين (بلا حد أوسط).
مقارنة العمليات على الحدود العملية المعاملات الأسس جمع/طرح (متشابهة فقط) تُجمع/تُطرح لا تتغير ضرب تُضرب تُجمع قسمة تُقسم تُطرح
للحسم: الأس لا يتغير إلا في الضرب والقسمة.
إشارات تحليل $س^2+ب س+ج$ إشارة ج إشارة ب العددان م، ن موجبة موجبة موجبان موجبة سالبة سالبان سالبة أي إشارة مختلفا الإشارة، والأكبر بإشارة ب
للحسم: افحص الضرب والمجموع معًا قبل اختيار القوسين.
أخطاء شائعة نسيان الحد الأوسط 2أب عند فك (أ±ب)² الخلط بين مربع الفرق (أ−ب)² والفرق بين مربعين أ²−ب² تربيع المتغير ونسيان تربيع معامله: (2س)²=4س² جمع حدود غير متشابهة أو جمع الأسس عند الجمع ضرب الأسس بدل جمعها في ضرب الحدود نسيان توزيع الإشارة السالبة على كل حد داخل القوس التوقف عند قيمة أ أو س بدل المقدار المطلوب ما يركّز عليه الاختبار فك المتطابقات الشهيرة واستعمالها في «بسّط» (أ+ب)²−(أ−ب)²=4أب وصيغها تحليل ثلاثية الحدود والفرق بين مربعين إيجاد أ²+ب² أو أب من معادلتين مقارنات جبرية بعد الفك وحذف المشترك حساب ذهني باستعمال المتطابقات (99²، 101×99) ملاحظات على شرائح العرض الشريحة 14: كُتب س^(2+3)=س^8 والصواب س^5 (الناتج النهائي 8س^5 صحيح) الشريحة 17: كُتب (س−ص)²=س²+2س ص+ص² والصواب س²−2س ص+ص²، والجواب 2(س²+ص²) خطأ؛ الصواب 2س²−2س ص+2ص² الشريحة 23: كُتب √(25)=√(9+5)=3 وهو خطأ؛ الصواب √(25)=5 و √(9)=3 (الجواب 64 صحيح) تدرّب على أسئلة المتطابقات والتحليل الجبري في القدرات الكمي
أطلس الدروس الأخرى