أسئلة المتطابقات والتحليل الجبري في القدرات الكمي

القواعد في هذا الدرس

• مربع مجموع حدّين
• مربع الفرق بين حدّين
• جمع وطرح مربعي المجموع والفرق
• الفرق بين مربعين
• تحليل ثلاثية حدود
• جمع وطرح الحدود المتشابهة
• ضرب وقسمة الحدود ذات الأسس
• تطبيق قاعدة التوزيع
• إيجاد قيمة مقدار من معادلتين
• التعويض لإيجاد المجهول
• حساب القيم العددية والمقارنة

نماذج من أسئلة المتطابقات والتحليل الجبري في القدرات الكمي مع الحل

1. أوجد ناتج:

   (س+4)²

   1. أ) س²+16
   2. ب) س²+8س+16
   3. ج) س²+4س+16
   4. د) س²+8س+8

   الإجابة الصحيحة: ب) س²+8س+16

   مربع مجموع حدين = مربع الأول + مثلي حاصل ضربهما + مربع الثاني.

   1. (أ+ب)²=أ²+2أب+ب² مع أ=س، ب=4
   2. 2(س)(4)=8س و 4²=16
   3. الناتج س²+8س+16

   المفتاح: مربع مجموع حدين له ثلاثة حدود؛ الأوسط 2أب

   • أ) القانون البديل: اخترتَ أ²+ب² ونسيتَ الحد الأوسط 2أب تمامًا
   • ج) الحل الناقص: كتبتَ الحد الأوسط أب ونسيتَ مضاعفته: 2×س×4=8س
   • د) زلة حسابية: ضربتَ 4×2=8 بدل تربيع الحد الثاني 4²=16

2. قارن بين القيمتين:

   إذا كان م>0

   القيمة الأولى: (م+3)² — القيمة الثانية: م²+6م

   1. أ) القيمة الأولى أكبر
   2. ب) القيمة الثانية أكبر
   3. ج) القيمتان متساويتان
   4. د) المعطيات غير كافية

   الإجابة الصحيحة: أ) القيمة الأولى أكبر

   (م+3)²=م²+6م+9 فهي تزيد على الثانية بـ 9 دائمًا.

   1. (م+3)²=م²+6م+9
   2. احذف م²+6م من الطرفين
   3. يبقى 9>0 فالأولى أكبر

   المفتاح: الفرق بين الطرفين بعد الفك عدد ثابت

   • ب) القانون البديل: فككتَ (م+3)² إلى م²+9 فظننتَ 6م ترجّح الثانية
   • ج) الحل الناقص: نسيتَ الحد الثابت 9 في المفكوك فتساوى الطرفان عندك
   • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن قيمة م تؤثر، والفرق ثابت يساوي 9 لكل م

3. أوجد قيمة:

   51² باستعمال (50+1)²

   1. أ) 2501
   2. ب) 2551
   3. ج) 2601
   4. د) 2611

   الإجابة الصحيحة: ج) 2601

   (50+1)²=2500+100+1=2601.

   1. 50²=2500
   2. 2×50×1=100
   3. 1²=1 والمجموع 2601

   المفتاح: حوّل العدد إلى (عدد مدوّر + باقٍ) ثم ربّع

   • أ) القانون البديل: ربّعتَ كل حد وحده 2500+1 ونسيتَ 2أب
   • ب) الحل الناقص: أضفتَ 50×1 مرة واحدة بدل مرتين
   • د) زلة حسابية: طبقتَ القاعدة صحيحًا وأخطأتَ في جمع 2500+100+1

4. قارن بين القيمتين:

   إذا كان أ، ب عددين صحيحين موجبين

   القيمة الأولى: أ²+2أب — القيمة الثانية: (أ+ب)²

   1. أ) القيمة الأولى أكبر
   2. ب) القيمة الثانية أكبر
   3. ج) القيمتان متساويتان
   4. د) المعطيات غير كافية

   الإجابة الصحيحة: ب) القيمة الثانية أكبر

   (أ+ب)²=أ²+2أب+ب² تزيد على الأولى بمقدار ب² وهو موجب.

   1. فك القيمة الثانية: أ²+2أب+ب²
   2. احذف المشترك أ²+2أب من الطرفين
   3. يبقى 0 مقابل ب²>0 فالثانية أكبر

   المفتاح: فك القوس ثم احذف المشترك وقارن الباقي

   • أ) القانون البديل: فككتَ (أ+ب)² إلى أ²+ب² فبدت الأولى أكبر بسبب 2أب
   • ج) الحل الناقص: فككتَ القوس وتوقفتَ عند أ²+2أب ونسيتَ الحد ب²
   • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن قيم أ، ب تغيّر الحكم، مع أن الفرق ب²>0 دائمًا

5. ما قيمة س²+ص²؟

   إذا كان س+ص=7 و س ص=10

   1. أ) 49
   2. ب) 39
   3. ج) 69
   4. د) 29

   الإجابة الصحيحة: د) 29

   س²+ص²=(س+ص)²−2س ص=49−20=29.

   1. (س+ص)²=س²+2س ص+ص²
   2. 49=س²+ص²+20
   3. س²+ص²=29

   المفتاح: مجموع المربعين = مربع المجموع − 2× الضرب

   • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند (س+ص)²=49 ولم تطرح 2س ص
   • ب) زلة حسابية: طرحتَ س ص=10 مرة واحدة بدل 2س ص=20
   • ج) الإشارة: جمعتَ 2س ص بدل طرحها: 49+20

6. أوجد ناتج:

   (2س+5)²

   1. أ) 4س²+20س+25
   2. ب) 4س²+25
   3. ج) 2س²+20س+25
   4. د) 4س²+10س+25

   الإجابة الصحيحة: أ) 4س²+20س+25

   الحد الأول (2س)²=4س²، والأوسط 2(2س)(5)=20س، والأخير 25.

   1. أ = 2س، ب = 5
   2. أ²=4س²، 2أب=20س، ب²=25
   3. الناتج 4س²+20س+25

   المفتاح: ربّع الحد كاملًا بمعامله

   • ب) القانون البديل: اخترتَ أ²+ب² وأسقطتَ الحد الأوسط
   • ج) ترتيب العمليات: ربّعتَ س وحدها ونسيتَ تربيع المعامل: (2س)²=4س²
   • د) الحل الناقص: حسبتَ أب=10س ونسيتَ مضاعفته إلى 20س

7. أوجد ناتج:

   (س−3)²

   1. أ) س²−9
   2. ب) س²+6س+9
   3. ج) س²−6س+9
   4. د) س²−3س+9

   الإجابة الصحيحة: ج) س²−6س+9

   مربع الفرق = مربع الأول − مثلي حاصل الضرب + مربع الثاني.

   1. (أ−ب)²=أ²−2أب+ب²
   2. 2(س)(3)=6س بإشارة سالبة
   3. الحد الأخير +9 دائمًا موجب

   المفتاح: في مربع الفرق: الأوسط سالب والأخير موجب

   • أ) القانون البديل: خلطتَ مربع الفرق بالفرق بين مربعين فأسقطتَ الحد الأوسط
   • ب) الإشارة: جعلتَ إشارة الحد الأوسط موجبة، وهي سالبة في مربع الفرق
   • د) الحل الناقص: نسيتَ مضاعفة حاصل الضرب: 2×س×3=6س

8. بسّط العبارة:

   (2س−3)²

   1. أ) 4س²−12س+9
   2. ب) 4س²−9
   3. ج) 2س²−12س+9
   4. د) 4س²−6س+9

   الإجابة الصحيحة: أ) 4س²−12س+9

   (2س)²−2(2س)(3)+3²=4س²−12س+9.

   1. أ = 2س، ب = 3
   2. أ²=4س²، 2أب=12س، ب²=9
   3. 4س²−12س+9

   المفتاح: الأوسط = 2×الأول×الثاني بإشارة الفرق

   • ب) القانون البديل: طبّقتَ الفرق بين مربعين بدل مربع الفرق
   • ج) ترتيب العمليات: ربّعتَ س ونسيتَ تربيع المعامل 2
   • د) الحل الناقص: حسبتَ أب=6س ولم تضاعفه إلى 12س

9. قارن بين القيمتين:

   إذا كان س>0

   القيمة الأولى: (س−1)² — القيمة الثانية: س²−2س+1

   1. أ) القيمة الأولى أكبر
   2. ب) القيمة الثانية أكبر
   3. ج) القيمتان متساويتان
   4. د) المعطيات غير كافية

   الإجابة الصحيحة: ج) القيمتان متساويتان

   الثانية هي مفكوك الأولى نفسه.

   1. (س−1)²=س²−2س+1
   2. القيمتان متطابقتان لكل س

   المفتاح: إذا كانت إحداهما مفكوك الأخرى فهما متساويتان

   • أ) القانون البديل: فككتَ (س−1)² إلى س²+1 فظننتها أكبر
   • ب) الإشارة: فككتَ (س−1)² إلى س²−2س−1 فظننت الثانية أكبر
   • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن الحكم يتغير مع س، والطرفان متطابقان لكل قيمة

10. ما قيمة س²+ص²؟

    إذا كان س−ص=3 و س ص=4

    1. أ) 9
    2. ب) 1
    3. ج) 13
    4. د) 17

    الإجابة الصحيحة: د) 17

    (س−ص)²=س²+ص²−2س ص إذن س²+ص²=9+8=17.

    1. 9=س²+ص²−8
    2. س²+ص²=17

    المفتاح: مجموع المربعين = مربع الفرق + 2×الضرب

    • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند (س−ص)²=9
    • ب) الإشارة: طرحتَ 2س ص بدل جمعها: 9−8
    • ج) زلة حسابية: أضفتَ س ص مرة واحدة بدل 2س ص

11. أوجد قيمة:

    99² باستعمال (100−1)²

    1. أ) 9999
    2. ب) 9801
    3. ج) 9901
    4. د) 10201

    الإجابة الصحيحة: ب) 9801

    10000−200+1=9801.

    1. 100²=10000
    2. 2×100×1=200 تُطرح
    3. +1 فالناتج 9801

    المفتاح: العدد القريب من 100: اكتبه (100−ب)²

    • أ) القانون البديل: ربّعتَ كل حد وحده 10000−1 ونسيتَ 2أب
    • ج) الحل الناقص: طرحتَ 100×1 مرة واحدة بدل مرتين
    • د) الإشارة: استعملتَ مربع المجموع فجمعتَ 200 بدل طرحها

12. قارن بين القيمتين:

    القيمة الأولى: (س−5)² — القيمة الثانية: (5−س)²

    1. أ) القيمة الأولى أكبر
    2. ب) القيمة الثانية أكبر
    3. ج) القيمتان متساويتان
    4. د) المعطيات غير كافية

    الإجابة الصحيحة: ج) القيمتان متساويتان

    (5−س)²=(−(س−5))²=(س−5)² لأن مربع السالب موجب.

    1. فك الاثنين: كلاهما س²−10س+25
    2. إذن متساويتان لكل س

    المفتاح: (أ−ب)²=(ب−أ)² دائمًا

    • أ) الإشارة: ظننتَ أن تبديل الحدين يغيّر إشارة المربع
    • ب) البعيد: اخترتَ تخمينًا أن ما يبدأ بعدد موجب أكبر
    • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن الحكم يتبع قيمة س، والمربعان متساويان دائمًا

13. بسّط المقدار:

    (أ+ب)²−(أ−ب)²

    1. أ) 0
    2. ب) 2أ²+2ب²
    3. ج) 2أب
    4. د) 4أب

    الإجابة الصحيحة: د) 4أب

    (أ²+2أب+ب²)−(أ²−2أب+ب²)=4أب.

    1. فك المربعين
    2. اطرح: أ² و ب² يُحذفان
    3. يبقى 2أب−(−2أب)=4أب

    المفتاح: (أ+ب)²−(أ−ب)²=4أب دائمًا

    • أ) الإشارة: لم توزّع الإشارة السالبة على القوس الثاني فحذفتَ كل شيء
    • ب) سوء قراءة المطلوب: جمعتَ المربعين بدل طرحهما
    • ج) زلة حسابية: طرحتَ صحيحًا لكن جمعتَ 2أب+2أب خطأً

14. بسّط المقدار:

    (2أ+ب)²−(2أ−ب)²

    1. أ) 8أب
    2. ب) 4أب
    3. ج) 8أ²+2ب²
    4. د) 16أب

    الإجابة الصحيحة: أ) 8أب

    بالقاعدة 4×(2أ)×ب=8أب.

    1. (2أ+ب)²=4أ²+4أب+ب²
    2. (2أ−ب)²=4أ²−4أب+ب²
    3. الفرق 8أب

    المفتاح: الناتج = 4×الحد الأول×الحد الثاني

    • ب) القانون البديل: طبّقتَ 4أب آليًا ونسيتَ أن الحد الأول 2أ
    • ج) سوء قراءة المطلوب: جمعتَ المربعين بدل طرحهما
    • د) زلة حسابية: ضاعفتَ المعامل مرة زائدة: 4×2أ×ب×2

15. بسّط المقدار:

    2(أ+ب)²−2(أ−ب)²

    1. أ) 4أب
    2. ب) 16أب
    3. ج) 8أب
    4. د) 4أ²+4ب²

    الإجابة الصحيحة: ج) 8أب

    2[(أ+ب)²−(أ−ب)²]=2×4أب=8أب.

    1. أخرج 2 عاملًا مشتركًا
    2. ما بين القوسين =4أب
    3. الناتج 8أب

    المفتاح: أخرج العامل المشترك ثم طبّق 4أب

    • أ) الحل الناقص: حسبتَ (أ+ب)²−(أ−ب)²=4أب ونسيتَ الضرب في 2
    • ب) زلة حسابية: ضربتَ في 2 مرتين
    • د) الإشارة: لم توزّع السالب على القوس الثاني فجمعتَ المربعين

16. ما قيمة:

    (س+ص)²−2س ص+(س−ص)²

    1. أ) 2(س²+ص²)
    2. ب) 2س²−2س ص+2ص²
    3. ج) 2س²+2س ص+2ص²
    4. د) 2س²−4س ص+2ص²

    الإجابة الصحيحة: ب) 2س²−2س ص+2ص²

    (س²+2س ص+ص²)−2س ص+(س²−2س ص+ص²)=2س²−2س ص+2ص².

    1. فك المربعين
    2. +2س ص−2س ص−2س ص=−2س ص
    3. الناتج 2س²−2س ص+2ص²

    المفتاح: اجمع حدود س ص وحدها بإشاراتها

    • أ) الحل الناقص: جمعتَ المربعين فقط ونسيتَ طرح 2س ص الوسطى
    • ج) الإشارة: فككتَ (س−ص)² بإشارة +2س ص كما ورد في الشريحة
    • د) زلة حسابية: طرحتَ 2س ص مرتين عند جمع الحدود المتشابهة

17. ما قيمة س ص؟

    إذا كان (س+ص)²=50 و (س−ص)²=18

    1. أ) 32
    2. ب) 16
    3. ج) 8
    4. د) 34

    الإجابة الصحيحة: ج) 8

    الفرق (س+ص)²−(س−ص)²=4س ص=32 إذن س ص=8.

    1. 4س ص=50−18=32
    2. س ص=(32/4)=8

    المفتاح: طرح المربعين يعطي 4س ص

    • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند الفرق 50−18=32 وهو 4س ص
    • ب) القانون البديل: قسمتَ الفرق على 2 بدل 4
    • د) سوء قراءة المطلوب: أوجدتَ س²+ص²=((50+18)/2) بدل س ص

18. أوجد ناتج:

    (س+5)(س−5)

    1. أ) س²−25
    2. ب) س²+25
    3. ج) س²−10
    4. د) س²−10س+25

    الإجابة الصحيحة: أ) س²−25

    مجموع حدين في الفرق بينهما = مربع الأول − مربع الثاني.

    1. (أ+ب)(أ−ب)=أ²−ب²
    2. الحدان الأوسطان +5س−5س يُحذفان
    3. الناتج س²−25

    المفتاح: (مجموع)×(فرق) = فرق المربعين بلا حد أوسط

    • ب) الإشارة: جعلتَ 5×(−5) موجبًا
    • ج) زلة حسابية: ضربتَ 5×2 بدل تربيع 5
    • د) القانون البديل: عاملتَه معاملة مربع الفرق فأضفتَ حدًا أوسط

19. حلّل:

    س²−16

    1. أ) (س−4)²
    2. ب) (س+8)(س−8)
    3. ج) (س+16)(س−16)
    4. د) (س+4)(س−4)

    الإجابة الصحيحة: د) (س+4)(س−4)

    16=4² فـ س²−4²=(س+4)(س−4).

    1. اكتب 16=4²
    2. أ²−ب²=(أ+ب)(أ−ب)
    3. (س+4)(س−4)

    المفتاح: خذ جذر كل حد ثم (مجموع)(فرق)

    • أ) القانون البديل: خلطتَ بين الفرق بين مربعين ومربع الفرق
    • ب) زلة حسابية: أخذتَ نصف 16 بدل جذره
    • ج) الحل الناقص: لم تأخذ الجذر التربيعي للعدد 16

20. أوجد قيمة:

    53²−47²

    1. أ) 36
    2. ب) 600
    3. ج) 100
    4. د) 500

    الإجابة الصحيحة: ب) 600

    (53+47)(53−47)=100×6=600.

    1. أ²−ب²=(أ+ب)(أ−ب)
    2. 100×6=600

    المفتاح: فرق مربعين عدديين = المجموع×الفرق

    • أ) القانون البديل: حسبتَ (53−47)² وهو مربع الفرق لا فرق المربعين
    • ج) الحل الناقص: توقفتَ عند المجموع 53+47=100 ولم تضرب في الفرق
    • د) زلة حسابية: ضربتَ 100×5 بدل 100×6

حل كل أسئلة الدرس (٥٦ سؤالاً)

اقرأ الشرح في الأطلس: شرح المتطابقات والتحليل الجبري في القدرات الكمي