شرح النسب المئوية والتناسب في القدرات الكمي

طريقة الحل

1. حدّد الكل (الأساس) والجزء المطلوب قبل أي حساب
2. حوّل النسبة إلى كسر على 100 أو إلى عامل مثل 1.10 أو 0.80
3. حدّد نوع العلاقة: طردية (تزيدان معًا) أم عكسية (حاصل الضرب ثابت)
4. اكتب التناسب ثم اضرب تبادليًا أو استعمل الجزء الواحد
5. تأكد أنك أجبت عن المطلوب نفسه (الأول أم الثاني، الربح أم السعر) وأن الناتج منطقي

خريطة القواعد

أولًا: النسب المئوية

حساب النسبة المئوية (٧ سؤالاً)

تحويل نسبة أو جزء من كل إلى نسبة مئوية

القانون

النسبة المئوية=(الجزء/الكل)×100. مثال العرض: 2 : 5=(2/5)×100=40%، و15 من 60 تساوي 25%.

اختيار الكل الصحيح

الكل هو المجموعة كلها لا الفئة الأخرى: في فصل 40 طالبًا نجح 30، فنسبة الناجحين (30/40)×100=75%.

تدرّب على أسئلة حساب النسبة المئوية

الجزء والكل (٨ سؤالاً)

إيجاد الجزء من نسبة معلومة، أو الكل من جزء معلوم

حساب الجزء

الجزء=الكل×(النسبة/100): 20% من 250 تساوي 50، و18% من 1000 ثمرة تساوي 180.

حساب الكل

الكل=الجزء×(100/النسبة): إذا كان 30% من عدد = 90 فالعدد 300، وإذا كان 12% = 36 طالبًا فالكل 300.

نسبة من نسبة

النسب المتتالية تُضرب: 15% من 60% من 400 =0.15×0.6×400=36؛ وأ% من ب = ب% من أ.

تدرّب على أسئلة الجزء والكل

الزيادة والنقص والربح (٨ سؤالاً)

نسبة التغير ونسبة المكسب أو الخسارة

القانون

نسبة التغير=(مقدار الزيادة أو النقص/القيمة الأصلية)×100. حقيبة من 250 إلى 300: (50/250)×100=20%؛ سرعة من 50 إلى 35: النقص 30%.

المكسب والخسارة

يُحسبان من سعر الشراء: شراء 400 وبيع 460 ربح 15%، وشراء 800 وبيع 680 خسارة 15%.

تدرّب على أسئلة الزيادة والنقص والربح

السعر الأصلي (٨ سؤالاً)

استرجاع سعر الشراء من سعر البيع ونسبة الربح أو الخسارة

في الربح

السعر الأصلي=(سعر البيع/1+نسبة الربح): بيع بـ 220 بربح 10% ⇐ (220/1.10)=200 ريال.

في الخسارة

السعر الأصلي=(سعر البيع/1−نسبة الخسارة): بيع بـ 280 بخسارة 20% ⇐ (280/0.80)=350 ريال. لا تطرح أو تضف النسبة من سعر البيع.

تدرّب على أسئلة السعر الأصلي

التغير المركب (٩ سؤالاً)

زيادات أو تخفيضات متتالية على السعر نفسه

زيادة أو تخفيض متكرر

السعر النهائي=الأصلي×(1+ن)^(عدد المرات): 1000 زادت 10% مرتين ⇐ 1000×1.21=1210 أي زيادة كلية 21% لا 20%.

نسب مختلفة

تُضرب العوامل: تخفيض 20% ثم 10% ⇐ 0.8×0.9=0.72 ، فـ 500 تصبح 360.

زيادة ثم تخفيض

1.25×0.80=1 يعيد السعر كما هو، أما زيادة 20% ثم تخفيض 20% فعاملها 0.96 أي نقص 4%.

تدرّب على أسئلة التغير المركب

أجزاء النسب (٨ سؤالاً)

تقسيم مجموع معلوم بنسبة معطاة

الخطوات الثلاث

اجمع الأجزاء، اقسم المجموع عليها لتحصل على الجزء الواحد، ثم اضرب في أجزاء المطلوب: 3 : 7 ومجموع 60 ⇐ الجزء 6 والرجال 18.

الفرق بدل المجموع

إذا أُعطي الفرق فاقسمه على فرق الأجزاء: 2 : 3 والفرق 6 ⇐ الجزء 6 والأكبر 18. وبلا مجموع ولا فرق لا يمكن تحديد الأعداد.

تدرّب على أسئلة أجزاء النسب

ثانيًا: التناسب

التناسب العكسي (٨ سؤالاً)

كميتان تزيد إحداهما فتنقص الأخرى وحاصل ضربهما ثابت

القانون

س_(1)×ص_(1)=س_(2)×ص_(2): الطعام يكفي 10 أشخاص 12 يومًا ⇐ 15 شخصًا: 120=15س ، س=8 أيام.

أمثلته

العمال والأيام (4 عمال 15 يومًا ⇐ 6 عمال 10 أيام)، والسرعة والزمن لمسافة ثابتة (60 كم/س في 5 ساعات ⇐ 75 كم/س في 4 ساعات).

تدرّب على أسئلة التناسب العكسي

الضرب التبادلي (٩ سؤالاً)

مسائل العمال والإنتاج والزمن بثلاث كميات

طردي مع ثبات الزمن

العمال والإنتاج طرديان: 4 عمال 80 قطعة ⇐ 6 عمال: 4س=6×80 ، س=120.

ثلاث كميات

اضرب الأصل في عامل كل تغير بحسب نوعه: العمال طرديًا مع الإنتاج وعكسيًا مع الأيام: س=(5×236×5/100×7)≈8.43 ⇐ 9 عمال.

ثبات الإنتاج

إذا بقي الإنتاج ثابتًا صار العمال والزمن عكسيين: مزارع واحد في 6 أيام ⇐ 10 مزارعين في 0.6 يوم.

تدرّب على أسئلة الضرب التبادلي

جداول المقارنة

للحسم: اسأل: لو زادت الأولى هل تزيد الثانية؟ نعم ⇐ طردي، لا ⇐ عكسي.

للحسم: إذا كان المجهول هو الأصلي فاقسم على العامل، وإلا فاضرب فيه.

للحسم: لا تجمع النسب المتتالية أبدًا؛ اضرب عواملها.

أخطاء شائعة

• حساب نسبة التغير من القيمة الجديدة بدل الأصلية
• جمع النسب المتتالية بدل ضرب عواملها
• طرح نسبة الربح من سعر البيع بدل القسمة على (1 + الربح)
• التوقف عند قيمة الجزء الواحد أو مقدار الزيادة بدل المطلوب
• حساب نصيب الطرف الآخر في أجزاء النسب
• معاملة علاقة عكسية (العمال والأيام) معاملة طردية
• تقريب عدد العمال للأسفل مع أن العامل لا يتجزأ

ما يركّز عليه الاختبار

• النسبة المئوية للزيادة أو النقص مع تمويه الأساس
• السعر قبل الخصم أو قبل الربح
• التغير المركب وأسئلة المقارنة عليه (هل يعود السعر؟)
• تقسيم مبلغ بنسبة ثنائية أو ثلاثية
• تحديد نوع التناسب في مسائل العمال والسرعة
• مسائل التناسب المركب بثلاث كميات
• المقارنة حين تكون المعطيات غير كافية (نسبة بلا مجموع)

ملاحظات على شرائح العرض

• الشريحة 7: مثال الوسط الحسابي لـ (1، 6، 8، 2، 10) ناتجه في الشريحة 4.5 والصواب (27/5)=5.4، والمثال أصلًا خارج موضوع درس النسب المئوية.
• الشريحة 37: جاء الناتج 8.43 ≈ 8 عمال، والصواب 9 عمال لأن عدد العمال يُقرَّب للأعلى (8 عمال لا ينجزون العمل في 7 أيام).
• الشريحة 37: تقول القاعدة إن الضرب التبادلي يُستخدم عند تناسب طردي بين 3 كميات، لكن العمال والأيام في المثال نفسه متناسبان عكسيًا (تناسب مركب).
• الشريحة 23: عنوانها «الدرس الخامس: النسب المئوية للمكسب والخسارة» مكرر من الدرس الثالث والصواب «التغير المركب»، والمثال يطلب نسبة الزيادة الكلية ولا يذكرها (الصواب 21%).
• الشريحة 24: قانون التخفيض المركب مكتوب بأس «عدد المرات» بينما المثال بنسبتين مختلفتين (20% ثم 10%)؛ الأس يصح فقط مع نسب متساوية، وإلا تُضرب العوامل.
• الشريحة 34: تكرار حرفي لمثال الشريحة 33.