شرح الإحصاء والمتوسطات في القدرات الكمي

طريقة الحل

1. اقرأ المطلوب بدقة: وسط أم وسيط أم مدى أم منوال، أم قيمة مجهولة أم مقارنة
2. اقرأ البيانات كلها من القائمة أو الجدول أو الأعمدة أو القطاعات وعدّها
3. رتّب البيانات قبل الوسيط والمدى، وعدّ التكرار قبل المنوال
4. في المسائل العكسية حوّل الوسط إلى مجموع: المجموع = العدد × الوسط ثم اطرح المعلوم
5. عند الإضافة أو التصحيح: الوسط الجديد = القديم + (مقدار التغيير ÷ العدد)
6. تحقق من أن الجواب قيمة من نوع المطلوب لا ناتجًا وسيطًا (المجموع، عدد التكرارات)

خريطة القواعد

الدرس الأول: الوسط الحسابي

حساب الوسط (٦ سؤالاً)

حساب المتوسط من قائمة أعداد أو سياق كالدرجات والاستهلاك

القانون

الوسط=(المجموع/العدد). مثال الشريحة 7: (1+6+8+2+10)÷5=(27/5)=5.4 (لا 4.5 كما كُتب في الشريحة). ومثال الدرجات (9، 8، 7، 8): 32÷4=8.

المعدل في سياق

المعدل اليومي = مجموع الكميات ÷ عدد الأيام، ثم يُقارن بالحد المطلوب. الماء: 600÷3=200 لتر وهو أقل من الحصة 210.

تدرّب على أسئلة حساب الوسط

المجموع والقيمة المجهولة (٦ سؤالاً)

استخراج المجموع من الوسط، وإيجاد قيمة ناقصة

المجموع من الوسط

المجموع=العدد×الوسط. وسط 5 بيانات 20 ← المجموع 5×20=100.

القيمة المجهولة

المجهول = المجموع الكلي − مجموع المعلوم. التفاحات: 150×5=750 ثم 750−580=170 جرامًا.

العدد المضاف

قارن المجموعين لا الوسطين: 4 أعداد وسطها 15 ثم 5 أعداد وسطها 16 ← المضاف 80−60=20.

تدرّب على أسئلة المجموع والقيمة المجهولة

وسط المتتابعة (٥ سؤالاً)

اختصار الوسط حين تزيد الأعداد بمقدار ثابت

قانون الأول والأخير

إذا كانت الأعداد مرتبة بزيادة ثابتة: الوسط=((الأول+الأخير)/2). من 1 إلى 5 ← 3، ومن 10 إلى 20 ← 15.

المجموع السريع

بدمج القانونين: المجموع = العدد × ((الأول+الأخير)/2)؛ مجموع 1 إلى 49 =49×25=1225.

تدرّب على أسئلة وسط المتتابعة

تعديل الوسط (٦ سؤالاً)

تغيّر الوسط عند إضافة مقدار أو تصحيح خطأ أو حذف قيمة

الإضافة والتصحيح

الوسط الجديد=القديم+(مقدار التغيير/العدد). 20 طالبًا متوسطهم 70 وأضيفت 40 ← 70+(40/20)=72. والمكافأة 10,000 على 50 موظفًا ← 4000+200=4200.

التصحيح بالطرح

صحّح المجموع ثم اقسم: 60×5=300، 300−15=285، 285÷5=57.

حذف قيمة

عند الحذف يتغير المجموع والعدد معًا: (300−12)÷9=32.

تدرّب على أسئلة تعديل الوسط

الدرس الثاني: الوسيط

إيجاد الوسيط (٩ سؤالاً)

القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها

عدد فردي

رتّب ثم احذف من الطرفين حتى يبقى عدد واحد: (5، 9، 3، 1، 7) ← (1، 3، 5، 7، 9) ← الوسيط 5.

عدد زوجي

يبقى عددان فخذ وسطهما: (2، 5، 8، 4) ← (2، 4، 5، 8) ← ((4+5)/2)=4.5.

تدرّب على أسئلة إيجاد الوسيط

الوسيط المجهول والمتطرف (٧ سؤالاً)

إيجاد قيمة مجهولة من الوسيط وأثر القيم الشاذة

المجهول في المنتصف

فردي: المجهول في المنتصف يساوي الوسيط (3، 5، س، 9، 11) ← س = 7. زوجي: ((س+8)/2)=7 ← س = 6.

القيم المتطرفة

الوسيط يعتمد على الموضع لا على قيمة الأطراف: (10…50) و(10…5000) وسيطهما 30، واستبدال الأكبر بأكبر منه لا يغيّر الوسيط. أما إضافة قيمة فتغيّر العدد وقد تغيّره.

تدرّب على أسئلة الوسيط المجهول والمتطرف

الدرس الثالث: المدى

المدى (١١ سؤالاً)

مقياس التشتت: الفرق بين أكبر قيمة وأصغرها

القانون

المدى=أكبر قيمة−أصغر قيمة. (11، 12، 15، 16، 14، 13) ← 16−11=5.

من جدول

امسح الجدول كاملًا بحثًا عن الأكبر والأصغر؛ أعمار الطلاب في جدول 12 خانة ← 16−11=5، والكتب ← 9−5=4.

عكسيًا

الأكبر = الأصغر + المدى، والمدى يتأثر بأي قيمة طرفية جديدة.

تدرّب على أسئلة المدى

الدرس الرابع: المنوال

المنوال (١٠ سؤالاً)

القيمة الأكثر تكرارًا وحالاتها

منوال واحد

عدّ تكرار كل قيمة واختر الأعلى: (8، 5، 5، 7، 6، 6، 4، 4، 5) ← 5 تكرر 3 مرات ← المنوال 5 (القيمة لا عدد المرات).

أكثر من منوال أو لا منوال

(9، 7، 8، 7، 6، 9) لها منوالان 7 و 9. وإذا تكررت كل قيمة مرة واحدة (1، 3، 5، 7، 9) فلا يوجد منوال.

تدرّب على أسئلة المنوال

تطبيقات: الجداول والرسوم البيانية

الجداول والرسوم (٨ سؤالاً)

استخراج البيانات من الأعمدة والجداول التكرارية والقطاعات ثم تطبيق المقاييس

الأعمدة والقطاعات

اقرأ قيمة كل عمود أو قطاع أولًا ثم طبّق القانون؛ رتّب القيم (لا الأسماء) قبل الوسيط. أطول عمود − أقصر عمود = المدى.

جدول التكرار

المنوال هو القيمة المقابلة لأكبر تكرار. والوسط = مجموع (القيمة × تكرارها) ÷ مجموع التكرارات: 73÷10=7.3.

تدرّب على أسئلة الجداول والرسوم

جداول المقارنة

للحسم: إذا أضيفت قيمة كبيرة جدًا: الوسط والمدى يتغيران، والوسيط والمنوال غالبًا ثابتان.

للحسم: عُدّ القيم أولًا؛ الترتيب شرط قبل الحذف في الحالتين.

للحسم: اعمل دائمًا على المجموع ثم اقسم؛ لا تُضف المقدار الكلي إلى الوسط مباشرة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين المقاييس: حساب الوسيط حين يُطلب الوسط أو العكس
• حساب الوسيط قبل ترتيب البيانات
• نسيان القسمة على 2 في الوسيط الزوجي أو في قانون (الأول + الأخير) ÷ 2
• الإجابة بعدد مرات التكرار بدل القيمة في المنوال
• جمع أكبر قيمة وأصغرها بدل طرحهما في المدى
• إضافة مقدار التصحيح كاملًا إلى الوسط بدل قسمته على العدد
• القسمة على العدد القديم بعد حذف قيمة أو إضافتها
• قراءة الأعمدة بترتيب أسمائها بدل ترتيب قيمها

ما يركّز عليه الاختبار

• الوسط الحسابي المباشر وتحويله إلى مجموع
• إيجاد قيمة مجهولة من الوسط أو الوسيط
• أثر الإضافة أو التصحيح على المتوسط (غالبًا في صورة مقارنة)
• الوسيط في عدد فردي وزوجي وعدم تأثره بالقيم المتطرفة
• المدى والمنوال من جدول أو رسم بالأعمدة أو قطاع دائري
• المقارنة بين الوسط والوسيط لمجموعة فيها قيمة شاذة

ملاحظات على شرائح العرض

• الشريحة 7: الوسط الحسابي للبيانات (1، 6، 8، 2، 10) كُتب 4.5، والصواب 27÷5=5.4
• الشريحة 23: نص المطلوب ناقص (عُرضت المجموعتان والجواب 30 دون ذكر السؤال)؛ يُفهم من الحل أنه وسيط كل مجموعة
• الشريحة 17: «ترتيبها تصاعدي وتنازلي» والصواب «تصاعديًا أو تنازليًا»
• الشريحتان 18 و19: «الرقم الذي في النص» والمقصود «في المنتصف»
• الشريحة 16: «القيمة الأولى متساويتان من القيمة الثانية» والصواب «القيمتان متساويتان»