شرح العمليات الحسابية وقوانين العدّ في القدرات الكمي

طريقة الحل

1. اقرأ المطلوب بدقة وحدّد نوع المسألة (مجموع، عدّ، عمل مشترك، ساعة…).
2. استدعِ القانون الخاص بالنوع وميّزه عن القانون القريب منه.
3. عوّض المعطيات مع مراعاة ترتيب العمليات.
4. راجع الحالات الحدية: هل الطرفان داخلان؟ هل نقسم على 2؟ هل توجد علامة في البداية؟
5. استبعد الخيارات سريعًا بآحاد الناتج أو بالتقدير قبل الحساب الكامل.

خريطة القواعد

الدرس الأول: العمليات والجمع السريع

ترتيب العمليات (٥ سؤالاً)

أولوية الأقواس والأسس والضرب والجمع في عبارة عددية

الترتيب

الأقواس أولًا ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة بترتيب ورودهما، ثم الجمع والطرح بترتيب ورودهما. مثال العرض: 6+4×(3+2)=6+4×5=6+20=26.

الأس قبل الضرب

الأس يخص العدد أو القوس الذي تحته فقط: 3+6×(5−2)²=3+6×9=57، لا (3+6)×9.

تدرّب على أسئلة ترتيب العمليات

الأعداد المكررة (٤ سؤالاً)

تحويل الجمع المتكرر إلى ضرب

القاعدة

مجموع الأعداد المكررة = أحد الأعداد × عدد مرات تكراره: 81+81+81+81=81×4=324.

العكس

إذا كان س+س+س+س+س=45 فإن 5س=45 وس=9.

تدرّب على أسئلة الأعداد المكررة

التجميع والعامل المشترك (٤ سؤالاً)

اختصار جمع أعداد كثيرة بالتجميع أو بإخراج عامل مشترك

الجمع اثنين–اثنين

نُجمّع كل عددين مجموعهما سهل (100 أو 1000): 6+94=100، 35+65=100، 68+132=200 فالمجموع 400.

العامل المشترك

إذا اشتركت الأعداد في عامل نُخرجه: 99+88+⋯+44=11×(9+8+7+6+5+4)=11×39=429.

تدرّب على أسئلة التجميع والعامل المشترك

المتتالية من 1 (٥ سؤالاً)

قانون مجموع الأعداد من 1 إلى س

القانون

المجموع=((1+س)×س/2)؛ من 1 إلى 49: (50×49/2)=1225.

من وسط السلسلة

مجموع 11 إلى 20 = (1 إلى 20) − (1 إلى 10) =210−55=155.

تدرّب على أسئلة المتتالية من 1

الزوجية والفردية (٦ سؤالاً)

قانونا مجموع الزوجية من 2 والفردية من 1 والمقارنة بينهما

الزوجية

من 2 إلى س الزوجي: المجموع=((2+س)×س/4)؛ مثال العرض 2+⋯+32=(34×32/4)=272.

الفردية

عددها ن=((1+آخر عدد)/2) ومجموعها ن²؛ 1+3+⋯+33: ن=17 والمجموع 289.

المقارنة

في السلسلة المتتالية من 1: إذا كان آخر عدد فرديًا فمجموع الفردية أكبر، وإن كان زوجيًا فمجموع الزوجية أكبر.

تدرّب على أسئلة الزوجية والفردية

آحاد الضرب والمقارنة (٥ سؤالاً)

آحاد ناتج الضرب ومقارنة نواتج ضرب بعامل مشترك

آحاد الناتج

آحاد الناتج = آحاد ضرب رقمي الآحاد: 152×723 آحاده 2×3=6 (الناتج 109896). يُستعمل لاستبعاد الخيارات.

خانة العشرات

تتحدد بضرب الرقمين الأخيرين (الآحاد والعشرات) من كل عدد.

المقارنة بعامل مشترك

مع ثبات أحد العوامل يكبر الناتج بكبر العامل الآخر: 8×7>8×5.

تدرّب على أسئلة آحاد الضرب والمقارنة

القيمة المطلقة (٥ سؤالاً)

القيمة المطلقة وترتيب الأعداد حول الصفر

القيمة المطلقة

تحذف الإشارة السالبة: |−6|=6؛ ثم تُجرى العملية كما كُتبت: |−6|−|−8|=6−8=−2.

حول الصفر

إذا كان الصفر أكبر الأعداد فالباقي سالب، وإذا كان أصغرها (وهي مختلفة) فالباقي موجب.

تدرّب على أسئلة القيمة المطلقة

الدرس الثاني: قوانين العدّ

عدد الأعداد بين عددين (٧ سؤالاً)

عدّ الأعداد بين عددين أو من عدد إلى عدد

المحصورة بين

تستبعد الطرفين: ص−س−1؛ بين 3 و10: 10−3−1=6.

من… إلى

تشمل الطرفين: ص−س+1؛ من 3 إلى 8: 6.

الزوجية أو الفردية

من زوجي إلى زوجي (أو فردي إلى فردي): ((الأخير−الأول)/2)+1؛ الزوجية من 4 إلى 20: 9.

تدرّب على أسئلة عدد الأعداد بين عددين

المباريات والهدايا (٧ سؤالاً)

العدّ الثنائي بين س من الأشخاص أو الفرق

المباريات والمصافحات

كل اثنين مرة واحدة: ((س−1)×س/2)؛ 6 فرق ← 15 مباراة، 8 أشخاص ← 28 مصافحة.

الهدايا

كل شخص يُهدي كل الآخرين: س×(س−1) بلا قسمة؛ 5 طلاب ← 20 هدية.

تدرّب على أسئلة المباريات والهدايا

القطع والأعمدة والترتيب (٨ سؤالاً)

مسائل ±1: القطع، العلامات على طريق، ترتيب شخص في صف

القطع

مرات استخدام الآلة = عدد القطع − 1؛ 7 قطع ← 6 مرات.

الأعمدة والأشجار

عدد المسافات = الكلية ÷ البينية؛ نزيد 1 إذا وُضعت علامة في البداية: 100÷10+1=11 عمودًا على جانب واحد.

الترتيب في الصف

عدد الطلاب = الترتيب من الأمام + الترتيب من الخلف − 1؛ 15 و11 ← 25.

تدرّب على أسئلة القطع والأعمدة والترتيب

عدّ الأشكال (٧ سؤالاً)

عدّ المربعات والمستطيلات في شبكة والمثلثات من رأس واحد

المربعات

في شبكة ن×ن: 1²+2²+⋯+ن²؛ شبكة 3×3 ← 9+4+1=14.

المستطيلات

مجموع الأفقي × مجموع الرأسي؛ 3 أعمدة × صفّين ← (3+2+1)×(2+1)=18.

المثلثات من رأس واحد

س ضلعًا من رأس واحد: ((س−1)×س/2)؛ 5 أضلاع ← 10.

تدرّب على أسئلة عدّ الأشكال

مسائل حياتية بقانون واحد

العمل المشترك (٥ سؤالاً)

زمن إنجاز عمل يشترك فيه اثنان

القانون

(1/الزمن)=(1/ز_(1))+(1/ز_(2))؛ 6 و12 يومًا: (1/6)+(1/12)=(1/4) ← 4 أيام.

التحقق

الزمن معًا أقل دائمًا من زمن الأسرع؛ إن خرج أكبر فالحل خطأ.

تدرّب على أسئلة العمل المشترك

زاوية العقربين (٦ سؤالاً)

الزاوية بين العقربين وحركة عقرب الدقائق

القانون

الزاوية=|الساعات×30−الدقائق×(11/2)|؛ عند 3:20: |90−110|=20°.

السرعات

عقرب الساعات 30° لكل ساعة، وعقرب الدقائق 6° لكل دقيقة؛ 180° ← 180÷6=30 دقيقة.

تدرّب على أسئلة زاوية العقربين

تساوي الأجور والزكاة (٦ سؤالاً)

زمن تساوي أجرين، ومقدار الزكاة

تساوي الأجور

الزمن = فرق المبالغ ÷ فرق الزيادة؛ (400/100)=4 سنوات (بشرط أن الأقل أجرًا هو الأكثر زيادة).

الزكاة

الزكاة = المبلغ ÷ 40 (ربع العُشر)؛ 80000 ← 2000 ريال، وعكسها: المبلغ = الزكاة × 40.

تدرّب على أسئلة تساوي الأجور والزكاة

جداول المقارنة

للحسم: إذا كان الفعل متبادلًا بين اثنين (مباراة، مصافحة) نقسم على 2؛ وإن كان من طرف واحد (هدية) فلا نقسم.

للحسم: اسأل: هل الطرفان داخلان؟ داخلان ⇐ +1، مستبعدان ⇐ −1، عُدّ الشخص مرتين ⇐ −1.

للحسم: الزوجية تُقسم على 4 لا على 2، والفردية نربّع عدد حدودها لا آخر عدد فيها.

أخطاء شائعة

• نسيان القسمة على 2 في المباريات والمصافحات، أو القسمة عليها خطأً في الهدايا.
• الخلط بين «المحصورة بين» (−1) و«من… إلى» (+1).
• تربيع آخر عدد فردي بدل تربيع عدد الحدود في مجموع الفردية.
• القسمة على 2 بدل 4 في مجموع الزوجية.
• نسيان عمود البداية أو الخلط بين عدد الأعمدة وعدد المسافات.
• ضرب الدقائق في 6 بدل (11/2) في قانون الزاوية، ونسيان القيمة المطلقة.
• أخذ متوسط الزمنين أو جمعهما في العمل المشترك بدل جمع المقلوبات.
• تقديم الجمع على الضرب أو تجاهل الأقواس والأسس.

ما يركّز عليه الاختبار

• أسئلة العدّ القصصية (مباريات، مصافحات، هدايا، قطع، أعمدة، ترتيب في صف).
• مجاميع المتتاليات والزوجية والفردية، ومقارنتها.
• استبعاد الخيارات بآحاد ناتج الضرب.
• عدّ المربعات والمستطيلات في شبكة.
• الزاوية بين عقربي الساعة والعمل المشترك.
• أسئلة مقارنة تختبر التمييز بين القوانين المتقاربة.

ملاحظات على شرائح العرض

• الشريحة 17: جاء ناتج |−6|−|−8| = 2 بحجة «الفرق بين القيمتين»؛ والصواب 6−8=−2.
• الشريحة 32: كُتب القانون «عدد العلامات = المسافة البينية ÷ المسافة الكلية» والصواب «المسافة الكلية ÷ المسافة البينية» (100÷10).
• الشريحة 32: نص المثال يقول «على جانبيه» والناتج 11 يخص جانبًا واحدًا؛ على الجانبين يكون 22 عمودًا.
• الشريحة 15 (ملحوظة): «نضرب أول رقمين من كل عدد» ملتبسة؛ خانة العشرات تتحدد بالرقمين الأخيرين (الآحاد والعشرات) لا بالرقمين الأولين من اليسار.
• الشريحتان 13 و14 مكررتان (الثانية تضيف ملحوظة المقارنة فقط).