شرح الأسس والقوى في القدرات الكمي

يغطي العرض قوانين الأسس التي تتكرر في القسم الكمي: حل المعادلة الأسية بتوحيد الأساس، وقوة القوة، وضرب وقسمة الأساسات المتشابهة، وضرب أساسات مختلفة بأس مشترك، وجمع القوى بالعامل المشترك، وإشارة الأس الزوجي والفردي للعدد السالب، والأس السالب والصفري، ثم مقارنة الأعداد الأسية الكبيرة. أسئلة القدرات هنا سريعة: «ما قيمة س؟» أو «بسّط» أو «قارن»، والحسم يكون بتحويل الطرفين إلى أساس واحد أو أس واحد دون حساب القيم الضخمة.

القاعدة الذهبية: حوّل إلى أساس واحد: في الضرب اجمع الأسس، وفي القسمة اطرحها، وفي قوة القوة اضربها؛ أما الجمع والطرح فلا يمسّان الأس (أخرج العامل المشترك).

طريقة الحل

حدد العملية: ضرب، قسمة، قوة قوة، جمع/طرح، أو معادلة/مقارنة
اكتب الأعداد قوى لأساس أولي واحد (4=2²، 8=2³، 9=3²، 81=3^4)
طبّق القانون المناسب على الأسس
في الجمع والطرح أخرج القوة الأصغر عاملًا مشتركًا
انتبه للإشارة: سالب بأس زوجي موجب، وبأس فردي سالب؛ والأس السالب يعني مقلوبًا

خريطة القواعد

المعادلة الأسية وقوة القوة

المعادلة الأسية (٩ سؤالاً)

إيجاد المجهول في الأس أو الأساس

تساوي الأساسين: إذا تساوى الأساسان تساوى الأسان: 3^7=3^س ⇐ س=7.
تساوي الأسين: إذا تساوى الأسان تساوى الأساسان مع ملاحظة السالب في الأس الزوجي: س^4=16 ⇐ س=±2.
توحيد الأساس: إذا اختلف الأساسان نحوّلهما لقوى أساس واحد: 4^س=2^6 ⇐ 2^(2س)=2^6 ⇐ س=3؛ و 3^(2س)=81=3^4 ⇐ س=2.
حالات خاصة: 2^س=0 لا حل لها لأن القوة الموجبة لا تكون صفرًا؛ و س^س=1 للعدد الصحيح الموجب حلها س=1.

تدرّب على أسئلة المعادلة الأسية

قوة القوة (٥ سؤالاً)

(أ^م)^ن=أ^(م×ن)

القاعدة: العدد المرفوع لأكثر من أس نضرب الأسس: (3²)^4=3^8، (5³)²=5^6، (2^4)³=2^(12).

تدرّب على أسئلة قوة القوة

ضرب وقسمة القوى

ضرب أساسات متشابهة (٤ سؤالاً)

أ^م×أ^ن=أ^(م+ن)

القاعدة: عند ضرب الأساسات المتشابهة نجمع الأسس: 4³×4^5=4^8. والعدد بلا أس أسه 1.

تدرّب على أسئلة ضرب أساسات متشابهة

قسمة أساسات متشابهة (٥ سؤالاً)

(أ^م/أ^ن)=أ^(م−ن)

القاعدة: عند قسمة الأساسات المتشابهة نطرح الأسس (البسط − المقام): (4^5/4²)=4³، (2^7/2³)=2^4=16.
أس المقام أكبر: إذا زاد أس المقام صار الناتج كسرًا: (64/2^9)=(2^6/2^9)=2^(−3)=(1/8).

تدرّب على أسئلة قسمة أساسات متشابهة

ضرب أساسات مختلفة (٤ سؤالاً)

أ^ن×ب^ن=(أب)^ن

القاعدة: يمكن ضرب أساسات مختلفة إذا كانت الأسس متساوية: 2³×5³=(2×5)³=10³.

تدرّب على أسئلة ضرب أساسات مختلفة

الجمع والإشارة والأس السالب

جمع وطرح القوى (٧ سؤالاً)

جمع القوى بالعامل المشترك لا بجمع الأسس

العامل المشترك: نأخذ القوة الأصغر عاملًا مشتركًا أو نحسب كل حد: 2³+2^5=2³(1+2²)=40، 3²+3^4=9×10=90، 2^6+2^5=2^5×3=96.
حدان متساويان: أ^ن+أ^ن=2أ^ن: 3^4+3^4=162، و 2^(99)+2^(99)=2^(100)، و 2³+2³=2^4=16.

تدرّب على أسئلة جمع وطرح القوى

إشارة الأس للعدد السالب (٧ سؤالاً)

تحديد إشارة قوة العدد السالب

القاعدة: الأس الزوجي للعدد السالب يعطي موجبًا (−2)^4=16، والفردي يعطي سالبًا (−2)³=−8.
دور الأقواس: −5^4=−625 لأن الأس على 5 وحده، بينما (−5)^4=625.

تدرّب على أسئلة إشارة الأس للعدد السالب

الأس السالب والصفري (٤ سؤالاً)

أ^(−ن)=(1/أ^ن) و أ^0=1

القاعدة: عند وجود أس سالب نحوّله إلى موجب بالمقلوب: 2^(−5)=(1/32)؛ و ((3/4))^(−2)=((4/3))²=(16/9)، و ((3/4))^0=1.

تدرّب على أسئلة الأس السالب والصفري

المقارنة والحساب الذهني

مقارنة أعداد أسية (٥ سؤالاً)

مقارنة قوى ضخمة دون حسابها

توحيد الأساس: 9^9=3^(18)<3^(20)، و 16^7=2^(28)>8^9=2^(27).
تصغير الأسس: اقسم الأسين على قاسمهما المشترك الأكبر ثم قارن: 5^(40) و 3^(60) ⇐ 5²=25 مقابل 3³=27.
الكسور ذات البسط الواحد: إذا تساوى البسطان فالأكبر صاحب المقام الأصغر: (1/35)>(1/125).

تدرّب على أسئلة مقارنة أعداد أسية

الحساب الذهني (٤ سؤالاً)

ضرب عدد قريب من مدوّر بالتوزيع

الطريقة: اكتب العدد (مدوّر ± فرق) ووزّع: 999×9=(1000−1)×9=8991.

تدرّب على أسئلة الحساب الذهني

جداول المقارنة

مقارنة قوانين الأسس
العملية	ماذا نفعل بالأسس	مثال
ضرب أساسات متشابهة	نجمع	4³×4^5=4^8
قسمة أساسات متشابهة	نطرح	(4^5/4²)=4³
قوة قوة	نضرب	(3²)^4=3^8
ضرب أساسات مختلفة بأس واحد	يبقى الأس ونضرب الأساسين	2³×5³=10³
جمع/طرح	لا شيء؛ عامل مشترك	2³+2^5=40

للحسم: الأس يتغير في الضرب والقسمة وقوة القوة فقط؛ الجمع لا يجمع الأسس.

إشارة القوى
الحالة	الناتج	مثال
سالب بأس زوجي (بأقواس)	موجب	(−2)^4=16
سالب بأس فردي	سالب	(−2)³=−8
سالب بلا أقواس	سالب دائمًا	−5^4=−625
أس سالب	مقلوب موجب	2^(−5)=(1/32)
أس صفري	1	((3/4))^0=1

للحسم: الأس السالب لا يجعل العدد سالبًا؛ الأقواس هي التي تحدد هل يشمل الأسُّ الإشارةَ.

أخطاء شائعة

جمع الأسس عند جمع القوى: 2³+2³≠2^6
جمع الأسس بدل ضربها في قوة القوة أو العكس
ضرب الأساسين عند ضرب أساسات متشابهة (4³×4^5≠16^8)
طرح الأسس بالعكس في القسمة
اعتبار الأس السالب ناتجًا سالبًا
إهمال الأقواس: −2^4=−16 لا 16
نسيان الحل السالب في س^4=16
المقارنة بالأساس وحده أو بالأس وحده دون توحيد

ما يركّز عليه الاختبار

حل المعادلة الأسية بتوحيد الأساس
تبسيط ضرب وقسمة القوى وقوة القوة
جمع القوى بالعامل المشترك (2^(99)+2^(99))
إشارة القوى السالبة والمقارنة بها
الأس السالب والصفري
مقارنة أعداد أسية كبيرة بتوحيد الأساس أو تصغير الأسس

ملاحظات على شرائح العرض

الشريحة 22: جاء الناتج 2^6 والصواب 2³+2³=16=2^4
الشريحة 23: كُتب −2^4=16؛ الصواب (−2)^4=16 أما −2^4=−16
الشريحتان 25 و30: كُتب −3^8 مقابل −3^7 و −2^8 مقابل −2^7 بلا أقواس، وبهذه الكتابة تكون الثانية أكبر؛ الجواب «الأولى أكبر» يصح فقط مع الأقواس (−3)^8، (−2)^8 (وهذا يناقض الشريحة 31 التي تفرّق بين −5^4 و (−5)^4)
الشريحة 38: البسط مكتوب 12^9+12^4 (جمع) والحل يعامله ضربًا؛ الناتج 12^(10) يصح لـ 12^9×12^4 فقط
الشريحة 39: كُتب 64=(2²)^6=2^(12) والجواب 8؛ الصواب 64=2^6 فيكون (64/2^9)=(1/8)

تدرّب على أسئلة الأسس والقوى في القدرات الكمي