شرح الأشكال الرباعية والدائرة والمجسمات في القدرات الكمي

طريقة الحل

1. اقرأ المطلوب بدقة: مساحة أم محيط أم حجم، والشكل كله أم المظلل
2. استخرج المعطيات وحوّلها لما يحتاجه القانون (القطر ← نصف القطر، المساحة ← الضلع)
3. طبّق القانون أو النسبة الجاهزة (½، ¼، 4 أمثال، كسر القطاع)
4. في المظللات: المظلل = الشكل الكبير − ما حوله، أو قانون جاهز مثل نق²(4 − π)
5. في المقارنات: احسب القيمتين كاملتين، أو طبّق قاعدة تساوي المحيط
6. راجع الوحدة: سم للطول، سم² للمساحة، سم³ للحجم، ولتر = 1000 سم³

خريطة القواعد

الأشكال الرباعية (الدرسان الرابع والخامس)

المربع (٦ سؤالاً)

مساحة المربع ومحيطه وقطره، والتحويل بينها

المساحة والمحيط

المساحة =ل² والمحيط =4ل. مثال العرض: ضلع 5 ⇒ المساحة 25؛ ضلع 6 ⇒ المحيط 24. ومن المساحة 49 الضلع √(49)=7 والمحيط 28.

القطر

القطر =ل√(2) ويقسم المربع إلى مثلثين 45°-45°-90°. ضلع 8 ⇒ القطر 8√(2).

المساحة بمعلومية القطر

المساحة =(1/2)×ق². قطر 10 ⇒ المساحة (1/2)×100=50.

تدرّب على أسئلة المربع

المثلث داخل الرباعي (٤ سؤالاً)

مثلث قاعدته ضلع الرباعي ورأسه على الضلع المقابل

نصف المساحة

في متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين والمربع: المثلث الذي قاعدته ضلع ورأسه على الضلع المقابل مساحته (1/2) مساحة الرباعي. مربع 64 ⇒ مثلث 32.

قطر المستطيل

القطر يقسم المستطيل إلى مثلثين متطابقين: مستطيل 48 ⇒ كل مثلث 24. موضع الرأس على الضلع المقابل لا يغير المساحة.

تدرّب على أسئلة المثلث داخل الرباعي

المعين (٤ سؤالاً)

مساحة المعين بالقطرين ومحيطه

المساحة

المساحة =(1/2)×ق_(1)×ق_(2). قطران 8 و 6 ⇒ 24. وعكسيًا: القطر =(2×المساحة/القطر الآخر).

المحيط

أضلاعه الأربعة متساوية: المحيط =4ل. ضلع 7 ⇒ 28.

تدرّب على أسئلة المعين

متوازي الأضلاع (٤ سؤالاً)

مساحته ومحيطه وخواص زواياه

المساحة

المساحة = القاعدة × الارتفاع العمودي (لا الضلع المائل). قاعدة 9 وارتفاع 5 ⇒ 45.

المحيط

المحيط =2×(أ+ب). ضلعان 8 و 6 ⇒ 28.

الزوايا

كل زاويتين متجاورتين مجموعهما 180°، وكل زاويتين متقابلتين متساويتان.

تدرّب على أسئلة متوازي الأضلاع

شبه المنحرف (٤ سؤالاً)

مساحة شبه المنحرف ومحيطه

المساحة

المساحة =((ق_(1)+ق_(2))/2)×ع. قاعدتان 10 و 6 وارتفاع 5 ⇒ 40. الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدتين المتوازيتين.

المحيط

مجموع الأضلاع الأربعة: 10+6+5+5=26.

تدرّب على أسئلة شبه المنحرف

الطائرة الورقية (٤ سؤالاً)

خواص الطائرة الورقية وزواياها

الخواص

ضلعا المقدمة المتجاوران متساويان، وضلعا المؤخرة المتجاوران متساويان، والزاويتان بين الضلعين المختلفين متساويتان، ومجموع زواياها 360°.

حساب الزاوية

60+50+2س=360 ⇒ س=125° (مثال العرض).

تدرّب على أسئلة الطائرة الورقية

المساحات المظللة والدائرة (الدرسان السادس والسابع)

منتصفات الأضلاع (٥ سؤالاً)

نسب ثابتة للأشكال المرسومة من منتصفات الأضلاع

مربع المنتصفات

المربع الناتج من وصل منتصفات أضلاع مربع =(1/2) الكبير: 48 ⇒ 24.

مثلث المنتصفات

المثلث الناتج من وصل منتصفات أضلاع مثلث =(1/4) الكبير: 64 ⇒ 16.

الأجزاء المتساوية

شبكة 2×2 ظُلل منها مربع واحد ⇒ المظلل (1/4) الشكل.

تدرّب على أسئلة منتصفات الأضلاع

الدائرة (٧ سؤالاً)

مساحة الدائرة ومحيطها ومعادلتها وما يُرسم داخلها

المساحة والمحيط

المساحة =π نق² والمحيط =2π نق مع π≈3.14 (أو (22/7)). نق =7 ⇒ المساحة ≈153.86 والمحيط ≈43.96 (أو 44).

الأشكال داخل الدائرة

المثلث المرسوم على القطر في نصف دائرة قائم الزاوية؛ قطر المربع أو المستطيل المرسوم داخل دائرة = قطرها؛ ضلع السداسي المنتظم = نصف القطر.

معادلة الدائرة

الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها نق: س²+ص²=نق². نق =5 ⇒ س²+ص²=25.

تدرّب على أسئلة الدائرة

الدوائر المتماسة والوردة (٦ سؤالاً)

قوانين جاهزة لمحيط ومساحة المظلل بين الدوائر

ثلاث دوائر متماسة

محيط المظلل =π نق، ومساحته =نق²(√(3)−(π/2)). نق =7 ⇒ 21.98 و ≈7.84.

أربع دوائر متماسة

محيط المظلل =2π نق، ومساحته =نق²(4−π). نق =7 ⇒ 43.96 و 42.14. والمربع الكبير المحيط بها = 4× مربع المراكز.

الوردة

مساحة الوردة =2× مساحة الدائرة − مساحة المربع. مربع 14 ⇒ 2×153.86−196=111.72.

تدرّب على أسئلة الدوائر المتماسة والوردة

مساحة القطاع (٤ سؤالاً)

القطاع جزء من الدائرة بين نصفي قطر

كسر القطاع

مساحة القطاع =(الزاوية/360)× مساحة الدائرة: 180° نصف، 120° ثلث، 90° ربع، 60° سدس، 45° ثُمن، 30° جزء من 12.

مثال

نق =6 وزاوية 90° ⇒ (1/4)×113.04≈28.26.

تدرّب على أسئلة مساحة القطاع

تساوي المحيط (٤ سؤالاً)

مقارنة مساحات الأشكال المتساوية المحيط

القاعدة

إذا تساوى المحيط فالدائرة أكبر مساحة من المربع، والمربع أكبر من المثلث؛ والعرض يعبّر عنها بأن «الشكل الخارجي» في الرسم هو الأكبر.

تمرين السلك

سلك قُسّم قسمين متساويين: قارن الشكلين الخارجيين؛ ومقارنة المحيطين ⇒ متساويتان (ج)؛ وإن لم يُذكر تساوي القسمين ⇒ (د).

لا مقارنة

المستطيل والمثلث وشبه المنحرف المتساوية المحيط لا يمكن المقارنة بين مساحاتها ⇒ المعطيات غير كافية.

تدرّب على أسئلة تساوي المحيط

التوازي (الدرس الثامن)

التوازي (٦ سؤالاً)

الزوايا الناتجة عن قطع مستقيم لمستقيمين متوازيين

التبادل

المتبادلتان متساويتان: (3)=(5)، (4)=(6)، (1)=(7)، (2)=(8).

التناظر

المتناظرتان متساويتان: (1)=(5)، (2)=(6)، (3)=(7)، (4)=(8). (1) =65° ⇒ (5) =65°.

التحالف

المتحالفتان (في جهة واحدة) مجموعهما 180°: (4)+(5)، (3)+(6)، (1)+(8)، (2)+(7). (4) =110° ⇒ (5) =70°.

تدرّب على أسئلة التوازي

القاطع المكسور (٤ سؤالاً)

زاوية رأس القاطع المكسور بين متوازيين

القاعدة

إذا كان ل1 // ل2 وبينهما قاطع مكسور فإن زاوية الرأس س = (1) + (2). مثال: 40+30=70°.

العكس

المجهول من الزاويتين = س − الزاوية المعلومة.

تدرّب على أسئلة القاطع المكسور

المجسمات (الدرس التاسع)

متوازي المستطيلات (٥ سؤالاً)

حجم متوازي المستطيلات ومساحتاه الجانبية والكلية

الحجم

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع: 8×5×4=160. و 1 م³ =1000 لتر، و 1 لتر =1000 سم³.

المساحة الجانبية

محيط القاعدة × الارتفاع: 2(6+4)×5=100.

المساحة الكلية

2×(ط×ع+ط×ر+ع×ر): 2×(15+20+12)=94.

تدرّب على أسئلة متوازي المستطيلات

المكعب (٥ سؤالاً)

حجم المكعب ومساحتاه

القوانين

الحجم =ل³، الكلية =6ل²، الجانبية =4ل². حرف 4 ⇒ حجم 64؛ حرف 5 ⇒ كلية 150؛ حرف 6 ⇒ جانبية 144.

حالة خاصة

المكعب متوازي مستطيلات أبعاده متساوية، فمساحته الكلية تساوي مساحة متوازي مستطيلات 5×5×5.

تدرّب على أسئلة المكعب

الأسطوانة (٥ سؤالاً)

حجم الأسطوانة ومساحتاها

الحجم

الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع =π نق² ع. نق 7 وع 10 ⇒ ≈1539.

المساحتان

الجانبية =2π نق ع (نق 5، ع 8 ⇒ 80π)، والكلية = الجانبية + 2π نق² (نق 3، ع 7 ⇒ 42π+18π=60π).

تدرّب على أسئلة الأسطوانة

جداول المقارنة

للحسم: المساحة تحتاج الارتفاع العمودي أو القطرين، والمحيط يحتاج الأضلاع فقط.

للحسم: تعرّف الشكل أولًا ثم طبّق قانونه الجاهز.

للحسم: الجانبية بلا قاعدتين، والكلية = الجانبية + القاعدتان.

أخطاء شائعة

• حساب المحيط بدل المساحة أو العكس، والمساحة الجانبية بدل الكلية
• نسيان القسمة على 2 في المعين وشبه المنحرف والمربع بمعلومية القطر
• استعمال القطر مكان نصف القطر في قوانين الدائرة والأسطوانة
• الخلط بين نسبة منتصفات المربع (½) والمثلث (¼)
• الخلط بين قانوني الثلاث والأربع دوائر المتماسة
• معاملة الزاويتين المتحالفتين كمتساويتين، أو المتبادلتين كمتكاملتين
• نسيان تحويل سم³ إلى لتر (÷ 1000)
• الحكم من الرسم في المقارنات بدل الحساب

ما يركّز عليه الاختبار

• المساحة من القطر في المربع والمعين
• المساحات المظللة بنسب ثابتة (½، ¼، 4 أمثال)
• قوانين الدوائر المتماسة والوردة والقطاع
• مقارنات تساوي المحيط وتمرين السلك
• زوايا التوازي والقاطع المكسور
• حجم ومساحات المكعب ومتوازي المستطيلات والأسطوانة مع تحويل الوحدات

ملاحظات على شرائح العرض

• الشريحة 26: كُتب «أوجد محيط الدائرة» والمحسوب محيط المنطقة المظللة (πنق≈21.98)
• الشريحة 30: كُتب 3.14×49≈153.94 والصواب 153.86، فتصير مساحة الوردة 111.72 لا 111.88 (الرقم 111.88 ناتج π الدقيقة لا 3.14)
• الشريحة 32: كُتب «أوجد مساحة المربع الكبير» والمطلوب المحسوب مساحة القطاع (≈28.26)
• الشريحة 34: فُرض «مربع داخل دائرة ومحيط المربع = محيط الدائرة» وهذا مستحيل (المربع المرسوم داخل دائرة محيطه أصغر)؛ والصواب: دائرة ومربع متساويا المحيط ⇒ الدائرة أكبر مساحة
• الشريحة 27: بتقريب √(3)≈1.73 جاء الناتج 7.84؛ وبقيمة √(3)≈1.732 يكون ≈7.94 (فرق تقريب، لا خطأ في الطريقة)
• الشريحة 42: «التوازي يُرمز له بالحرف M» والصواب أن رمز التوازي هو //
• الشريحة 8: «قطرا المربع يقسمان المربع إلى مثلثين 45-45» والأدق: القطر الواحد يقسمه إلى مثلثين 45°-45°-90° (والقطران إلى أربعة)
• الشريحة 36: استُعملت π=(22/7) فخرج 44، بينما بقية العرض تستعمل 3.14 (المحيط 43.96)؛ يحسن التنبيه إلى قيمة π المستعملة