شرح الكسور والأعداد العشرية والجذور في القدرات الكمي

طريقة الحل

1. حدد نوع العملية (جمع/طرح، ضرب، قسمة) ونوع الأعداد (عشرية، كسور، جذور)
2. جهّز الأعداد: أصفار للمنازل، مقام موحّد، تبسيط الجذر
3. أجرِ العملية كأنها على أعداد صحيحة
4. أعد العلامة العشرية أو اختصر الكسر أو أخرج ما له جذر
5. في المقارنات: احسب كل طرف أو جرّب أعدادًا من المجال المعطى
6. تحقق بالتعويض أو بتقدير سريع لحجم الناتج

خريطة القواعد

الدرس الأول: الأعداد العشرية

جمع وطرح العشري (٥ سؤالاً)

محاذاة العلامات العشرية وإكمال المنازل بالأصفار

الطريقة الرأسية

نضع الأعداد فوق بعضها والعلامات العشرية تحت بعضها تمامًا، ثم نجمع أو نطرح كأعداد صحيحة. مثال: 1.76+5.13=6.89.

الطريقة الأفقية

نجعل عدد المنازل متساويًا بإضافة أصفار على يمين العدد: 1.2=1.20 فيكون 2.45+1.20=3.65.

تدرّب على أسئلة جمع وطرح العشري

الصحيح والعشري (٥ سؤالاً)

طرح عدد عشري من عدد صحيح بالتعويض بالأصفار

التعويض بالأصفار

نحذف العلامة من العشري ونضيف للصحيح أصفارًا بعدد منازله، ثم نطرح ونعيد العلامة: 1−0.999 تصبح 1000−999=1 أي 0.001.

تدرّب على أسئلة الصحيح والعشري

ضرب العشري (٤ سؤالاً)

الضرب بلا علامات ثم عدّ المنازل

عدّ المنازل

نضرب الأعداد بلا علامات، ثم نضع في الناتج منازل بعدد مجموع منازل العوامل: 0.3×0.09: 3×9=27 و1+2=3 منازل فالناتج 0.027.

تدرّب على أسئلة ضرب العشري

قسمة العشري (٤ سؤالاً)

مساواة المنازل في المقسوم والمقسوم عليه ثم القسمة

نقل العلامة

ننقل العلامة في الطرفين بالقدر نفسه حتى يصبحا صحيحين ثم نقسم: 0.1÷0.01=10÷1=10.

تدرّب على أسئلة قسمة العشري

قوى العشرة (٥ سؤالاً)

تحريك العلامة يمينًا عند الضرب ويسارًا عند القسمة

الضرب في قوى 10

نحرّك العلامة يمينًا منازل بعدد الأصفار: 3.47×100=347.

القسمة على قوى 10

نحرّك العلامة يسارًا منازل بعدد الأصفار: (1/100)×6=0.06، و(1÷1000)+(1÷100)+(1÷10)=0.111.

تدرّب على أسئلة قوى العشرة

الدرس الثاني: الكسور

جمع وطرح الكسور (٦ سؤالاً)

المقام الموحّد، توحيد المقامات، والعدد الصحيح مع الكسر

المقامات الموحّدة

نجمع أو نطرح البسوط ويبقى المقام: (3/5)+(4/5)=(7/5).

المقامات المختلفة

نوحّد المقامات أولًا ثم نجمع: (1/2)+(1/3)=(3/6)+(2/6)=(5/6).

العدد الصحيح مع الكسر

نحوّل الصحيح إلى كسر مقامه 1 ثم نوحّد: 2−(3/4)=(8/4)−(3/4)=(5/4).

تدرّب على أسئلة جمع وطرح الكسور

تبسيط الكسر (٥ سؤالاً)

القسمة على القاسم المشترك الأكبر

القاسم المشترك الأكبر

نقسم البسط والمقام على ق.م.أ: (6/8)=(3/4) (ق.م.أ = 2)، و(6/12)=(1/2) (ق.م.أ = 6).

تدرّب على أسئلة تبسيط الكسر

ضرب الكسور وقسمتها (٥ سؤالاً)

بسط في بسط ومقام في مقام، والقسمة ضرب في المقلوب

ضرب الكسور

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام ويُفضّل الاختصار أولًا: (3/4)×(2/5)=(6/20)=(3/10)، و(3/5)×10=6.

قسمة الكسور

نحوّل القسمة إلى ضرب ونقلب الكسر الثاني: (3/5)÷(4/7)=(3/5)×(7/4)=(21/20).

تدرّب على أسئلة ضرب الكسور وقسمتها

مقارنة الكسور (٤ سؤالاً)

الضرب التبادلي (ضرب المقص)

ضرب المقص

نضرب كل بسط في مقام الكسر الآخر، وننسب الناتج إلى البسط؛ صاحب الناتج الأكبر هو الأكبر: (2/3) و(4/5): 10<12 فـ(4/5) أكبر.

تدرّب على أسئلة مقارنة الكسور

بين الصفر والواحد (٦ سؤالاً)

سلوك العدد بين 0 و1 عند الرفع لأس والمقلوب والجذر

الأس والمقارنة بالواحد

إذا كان 0<س<1 فإن س²<س<1؛ كلما زاد الأس صغرت القيمة: 0.5²=0.25.

المقلوب والجذر

إذا كان 0<س<1 فإن (1/س)>س و√(س)>س: (1/0.25)=4 و√(0.25)=0.5.

تدرّب على أسئلة بين الصفر والواحد

معادلات ومسائل الكسور (٦ سؤالاً)

إزالة المقام، وتتبع الجزء المتبقي في المسائل اللفظية

معادلات تحتوي كسورًا

نضرب الطرفين في المقام (أو المضاعف المشترك)، أو نجرّب الخيارات بالتعويض: (س/3)=4 ⇒ س=12.

المسائل اللفظية

نترجم الألفاظ: المتبقي = الأصلي − المستهلك: (5/9)−(2/9)=(1/3). و«من الباقي» تعني أخذ الكسر من الجزء المتبقي لا من الكل.

تدرّب على أسئلة معادلات ومسائل الكسور

الدرس الثالث: الجذور

تبسيط الجذور (٤ سؤالاً)

إخراج المربع الكامل من تحت الجذر

التحليل إلى مربع كامل × باقٍ

نكتب العدد حاصل ضرب عددين أحدهما مربع كامل ونُخرج جذره: √(48)=√(16×3)=4√(3).

تدرّب على أسئلة تبسيط الجذور

جمع وطرح الجذور (٥ سؤالاً)

جمع معاملات الجذور المتشابهة بعد التبسيط

الجذور المتشابهة

نجمع المعاملات ويبقى الجذر: 3√(7)+2√(7)−√(7)=4√(7).

الجذور المختلفة

نبسّط أولًا لتتشابه: √(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3). ولا يصح √(أ)+√(ب)=√(أ+ب).

تدرّب على أسئلة جمع وطرح الجذور

ضرب الجذور وقسمتها (٥ سؤالاً)

الخارج مع الخارج والداخل مع الداخل، والمرافق للمقام

ضرب الجذور

3√(5)×2√(7)=6√(35): نضرب الأعداد خارج الجذر معًا وداخله معًا ثم نبسّط.

قسمة الجذور والمرافق

√(50)÷√(2)=√(25)=5. وإذا كان في المقام جذر نضرب البسط والمقام فيه: (6/√(3))=(6√(3)/3)=2√(3).

تدرّب على أسئلة ضرب الجذور وقسمتها

جذر العدد العشري (٥ سؤالاً)

موضع العلامة في الجذر التربيعي والتكعيبي

الجذر التربيعي

نحذف العلامة ونأخذ الجذر، ثم نضع منازل بعدد نصف منازل الأصل: √(0.04)=0.2.

الجذر التكعيبي

نضع منازل بعدد ثلث منازل الأصل: ∛(0.125)=0.5.

تدرّب على أسئلة جذر العدد العشري

معادلات الجذور (٦ سؤالاً)

عزل الجذر ثم الرفع للأس المساوي لدليله

عزل الجذر والتربيع

نعزل الجذر في طرف ثم نربّع ونتحقق: √(س)=5 ⇒ س=25.

الجذر النوني

الجذر التربيعي يعني الأس 2، والتكعيبي الأس 3، والنوني الأس ن؛ والجذر النوني لـ س^م يساوي س^((م/ن)). الجذر الرابع لـ س = 2 ⇒ س=2^4=16.

تدرّب على أسئلة معادلات الجذور

جداول المقارنة

للحسم: في الجمع والطرح المهم موضع العلامة، وفي الضرب المهم عددها، وفي القسمة المهم تساويها.

للحسم: بين 0 و1 ينقلب الحدس: التربيع يصغّر، والجذر والمقلوب يكبّران؛ وعند س=1 تتساوى كلها.

للحسم: الجمع يحتاج «تشابهًا» (مقام موحّد أو جذر موحّد)، أما الضرب فلا يحتاجه.

أخطاء شائعة

• جمع المقامين عند جمع الكسور: (1/2)+(1/3)≠(2/5)
• محاذاة الأرقام من اليمين بدل محاذاة العلامات العشرية في الجمع والطرح
• عدّ منازل العدد الأطول فقط عند الضرب كما في الجمع: 0.3×0.09=0.027 لا 0.27
• حذف العلامتين في القسمة دون مساواة المنازل: 0.36÷0.4=0.9 لا 9
• قلب الكسر الأول بدل الثاني في القسمة
• جمع ما تحت الجذرين: √(9)+√(16)=7 لا √(25)
• افتراض أن التربيع يكبّر العدد دائمًا، ونسيان حالة الأعداد بين 0 و1
• نسيان إعادة العلامة العشرية بعد الحساب كأعداد صحيحة

ما يركّز عليه الاختبار

• أسئلة مقارنة على خصائص الأعداد بين 0 و1 (الأس، المقلوب، الجذر)
• مقارنة كسرين متقاربين بالضرب التبادلي
• العمليات على الأعداد العشرية بسرعة ودقة، خاصة الضرب والقسمة
• تبسيط الجذور وجمعها بعد جعلها متشابهة
• مسائل لفظية تتطلب تتبع الجزء المتبقي من الكسر
• معادلات بسيطة تحوي كسورًا أو جذورًا، وتجربة الخيارات بالتعويض

ملاحظات على شرائح العرض

• الشريحة 30: ناتج √(48) مكتوب ∛(4) (4 تحت جذر بدليل 3)، والصواب 4√(3)
• الشريحتان 31 و33 (وكذلك 32): كُتبت المعاملات في موضع دليل الجذر (³√7، ²√7، ⁶√35)، فتُقرأ جذورًا تكعيبية أو نونية؛ الصواب كتابتها قبل الجذر: 3√(7)، 2√(7)، 6√(35)
• الشريحة 36: «الجذر التكعيبي لـ ²√125» مكتوب بدليل 2، والمقصود ∛(125)=5
• الشريحة 38: الجذر مرسوم بدليل 3 (تكعيبي) والنص يقول «الجذر التربيعي» والناتج 25؛ إن كان تكعيبيًا فالصواب س=125، وإن كان تربيعيًا (√(س)=5) فـس=25
• الشريحة 40: الخياران ب (3) ود (√(9)) متساويان، فالسؤال له إجابتان صحيحتان؛ يُستبدل الخيار د (في البنك صار √(3))