شرح الزوايا والمثلثات والإحداثيات في القدرات الكمي يغطي الدرس أساسيات الهندسة في القسم الكمي: الهندسة الإحداثية (نقطة المنتصف والمسافة)، والزوايا (المتتامة والمتكاملة والمتقابلة بالرأس وزوايا الدائرة والمضلع)، والمثلثات (تصنيفها، متباينة المثلث، فيثاغورس، المثلثات الخاصة، منصف الزاوية، المساحة)، ثم مساحة المستطيل ومحيطه والأشكال المركبة. تأتي هذه القواعد في القدرات أسئلةً مباشرة قصيرة أو مقارنات تعتمد على قانون واحد، وكثيرًا ما يكون الشكل غير مرسوم بمقياس.
القاعدة الذهبية: حدّد القانون الذي يربط المعطى بالمطلوب قبل الحساب: نصف أم ضعف، 90 أم 180 أم 360، محيط أم مساحة.
طريقة الحل اقرأ المطلوب بدقة: زاوية أم قوس، ضلع أم وتر، محيط أم مساحة ارسم الشكل أو ضع المعطيات عليه اختر القانون المناسب (منتصف، مسافة، فيثاغورس، مجموع زوايا…) عوّض واحسب بانتباه للإشارات والجذور تحقق من معقولية الناتج (الوتر أكبر الأضلاع، الزاوية في مداها) في المقارنات لا تفترض قيمًا لم تُعطَ خريطة القواعد الهندسة الإحداثية نقطة المنتصف (٥ سؤالاً) إيجاد منتصف قطعة أو أحد طرفيها من الإحداثيات
قانون المنتصف م=(((س_(1)+س_(2))/2)، ((ص_(1)+ص_(2))/2)). مثال العرض: منتصف أ(2،6) وب(8،10) هو (5،8). المقارنة بعد إيجاد المنتصف احسب المنتصف أولًا ثم قارن الإحداثيين؛ منتصف (2،4) و(8،12) هو (5،8) فالصادي أكبر. إيجاد الطرف المجهول الطرف = 2×المنتصف − الطرف المعلوم؛ إذا كان م(3،5) وأ(1،2) فـ ب(5،8). تدرّب على أسئلة نقطة المنتصف
المسافة بين نقطتين (٥ سؤالاً) طول القطعة بين نقطتين بقانون المسافة
قانون المسافة أب=√((س_(2)−س_(1))²+(ص_(2)−ص_(1))²). بين (1،2) و(5،6): √(16+16)=4√(2). حالات خاصة إذا تساوى إحداثي فالمسافة فرق الإحداثي الآخر؛ والفرقان 3 و4 يعطيان 5. تدرّب على أسئلة المسافة بين نقطتين
الزوايا المتتامة والمتكاملة والرأس (٧ سؤالاً) علاقات الزوايا المتجاورة والمتقابلة
المتتامة والمتكاملة المتتامتان مجموعهما 90° والمتكاملتان 180°؛ متممة 30° هي 60°. الزوايا على مستقيم مجموعها 180°: 55+س+55=180 ⇒ س=70° ، و40+س=180 ⇒ س=140°. المتقابلتان بالرأس متساويتان في القياس؛ إذا كانت إحداهما 65° فالأخرى 65°. تدرّب على أسئلة المتتامة والمتكاملة والرأس
زوايا الدائرة والأقواس (٧ سؤالاً) العلاقة بين الزاوية المركزية والمحيطية والقوس والرباعي الدائري
المركزية والقوس قياس الزاوية المركزية = قياس قوسها، وقياس القوس = 2× المحيطية المقابلة له. المحيطية المحيطية = (1/2) القوس المقابل = (1/2) المركزية المشتركة معها في القوس؛ قوس 80° ⇒ محيطية 40°. مثلث متطابق الأضلاع داخل دائرة كل زاوية 60° محيطية فكل قوس 120°. الرباعي الدائري كل زاويتين متقابلتين مجموعهما 180°؛ مقابلة 65° هي 115°. تدرّب على أسئلة زوايا الدائرة والأقواس
طول القوس (٥ سؤالاً) جزء محيط الدائرة الذي تحصره زاوية مركزية
القانون طول القوس = (الزاوية المركزية/360)× محيط الدائرة ، والمحيط =2πنق. مثال: 60° ونق 7: (60/360)×44=(22/3)≈7.33 سم. عند معرفة المحيط محيط 100 وزاوية 36° ⇒ القوس 10 سم. إيجاد الزاوية من القوس الزاوية = (طول القوس/المحيط)×360. تدرّب على أسئلة طول القوس
الزاوية الخارجية والمضلع (٥ سؤالاً) الزاوية الخارجية للمثلث ومجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع
الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الداخليتين البعيدتين: 40+70=110°. مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع 360°؛ في المنتظم كل خارجية =360÷ن ، فلخمس زوايا متساوية 72°. عدد الأضلاع ن = 360÷ الزاوية الخارجية؛ خارجية 40° ⇒ 9 أضلاع. تدرّب على أسئلة الزاوية الخارجية والمضلع
المثلثات تصنيف المثلثات (٩ سؤالاً) تصنيف المثلث بالزوايا وبالأضلاع
حسب الزوايا قائم: زاوية 90° ، حاد: كل الزوايا أقل من 90° ، منفرج: زاوية أكبر من 90° (مثل 30،50،100). حسب الأضلاع (مقارنة المربعات) قارن مربع أكبر ضلع بمجموع مربعي الآخرين: = قائم، > منفرج، < حاد؛ 5،6،7: 49<61 حاد. متطابق الأضلاع أضلاعه وزواياه متساوية وكل زاوية 60°. متطابق الضلعين زاويتا القاعدة متساويتان؛ إحداهما 50° فالأخرى 50°. تدرّب على أسئلة تصنيف المثلثات
متباينة المثلث (٥ سؤالاً) شرط أن تكوّن ثلاثة أطوال مثلثًا
الشرط مجموع أي ضلعين أكبر من الثالث، والفرق أصغر منه؛ 3+4=7<9 فلا تكوّن مثلثًا. مدى الضلع الثالث الفرق < الضلع الثالث < المجموع بلا مساواة؛ لضلعين 5 و9: 4<س<14. تدرّب على أسئلة متباينة المثلث
فيثاغورس والمثلثات الخاصة (٧ سؤالاً) أضلاع المثلث القائم والمثلثين 30-60-90 و45-45-90
نظرية فيثاغورس الوتر²= مجموع مربعي ضلعي القائمة؛ 9 و12 ⇒ الوتر 15. المثلث الثلاثيني الستيني المقابل لـ 30° = نصف الوتر، والمقابل لـ 60° = (√(3)/2)× الوتر؛ وتر 10 ⇒ 5 و5√(3). المثلث 45°−45° الضلعان متساويان والوتر = الضلع ×√(2)؛ ضلع 6 ⇒ وتر 6√(2). تدرّب على أسئلة فيثاغورس والمثلثات الخاصة
منصف الزاوية (٤ سؤالاً) تناسب جزأي الضلع المقابل مع الضلعين المجاورين
القاعدة منصف زاوية أ يقسم ب ج إلى جزأين متناسبين مع الضلعين المجاورين: (س/ص)=(أج/أب)؛ أج=8 ، أب=12 ، س=4 ⇒ ص=6. حالة متطابق الضلعين إذا كان أب=أج فالمنصف ينصّف القاعدة. تدرّب على أسئلة منصف الزاوية
مساحة المثلث (٥ سؤالاً) مساحة المثلث وإيجاد الارتفاع منها
القانون العام المساحة = (1/2)× القاعدة × الارتفاع؛ 8 و6 ⇒ 24 سم². متطابق الأضلاع المساحة = (√(3)/4)×ل²؛ ضلع 6 ⇒ 9√(3) سم². الارتفاع من المساحة الارتفاع = (2×المساحة)÷القاعدة؛ 20 و8 ⇒ 5 سم. تدرّب على أسئلة مساحة المثلث
المستطيل والأشكال المركبة المستطيل: مساحة ومحيط (١٠ سؤالاً) مساحة المستطيل ومحيطه وإيجاد بعد مجهول والأشكال المركبة
المساحة والمحيط المساحة = الطول × العرض (8×5=40)، والمحيط =2×(الطول + العرض) (2×(10+6)=32). إيجاد بعد مجهول الطول = (المساحة/العرض) (36÷4=9)، ومن المحيط: العرض = نصف المحيط − الطول. الشكل المركب قسّمه إلى مستطيلات واجمع مساحاتها: 6×4+3×4=36 سم². المساحة لا تحدد المحيط مستطيلان مساحتهما 24 قد يختلف محيطاهما (8×3 و6×4). تدرّب على أسئلة المستطيل: مساحة ومحيط
جداول المقارنة مقارنة زوايا الدائرة الزاوية رأسها علاقتها بالقوس المقابل المركزية مركز الدائرة تساويه المحيطية على الدائرة نصفه متقابلتا الرباعي الدائري على الدائرة مجموعهما 180°
للحسم: القوس هو المرجع: المركزية = القوس، والمحيطية = نصفه.
مقارنة المثلثين الخاصين المثلث الضلعان القصيران الوتر 30°−60°−90° س وس√(3) 2س 45°−45°−90° س وس س√(2)
للحسم: مقابل 30 نصف الوتر؛ وفي 45-45 اضرب الضلع في √2.
مقارنة المجاميع الثابتة للزوايا الحالة المجموع مثال متتامتان 90° 30 و60 متكاملتان / على مستقيم 180° 40 و140 زوايا المثلث 180° 30،60،90 الزوايا الخارجية لأي مضلع 360° خماسي: 72 لكل منها
للحسم: حدّد نوع العلاقة أولًا ثم المجموع.
أخطاء شائعة الخلط بين المحيطية والمركزية (نصف أم ضعف) نسيان القسمة على 2 في نقطة المنتصف أو الجذر في قانون المسافة تبديل الإحداثيين السيني والصادي حساب المساحة بدل المحيط أو العكس قبول المساواة في متباينة المثلث قلب نسبة منصف الزاوية نسيان (1/2) في مساحة المثلث أو 4 في مساحة متطابق الأضلاع افتراض أن الشكل مرسوم بمقياس في أسئلة المقارنة ما يركّز عليه الاختبار زوايا الدائرة والرباعي الدائري فيثاغورس والمثلثان الخاصان المنتصف والمسافة في المستوى الإحداثي الزوايا على مستقيم والمتقابلة بالرأس المساحة والمحيط والأشكال المركبة مقارنات تحتاج حسابًا كاملًا أو تنتهي بـ«المعطيات غير كافية» ملاحظات على شرائح العرض الشريحة 7: كُتب ص=5 وس=8 (تبديل في التسمية)، والصواب س=5 وص=8؛ الناتج م(5،8) صحيح الشريحة 8: جاء الناتج √(23) والصواب √(16+16)=√(32)=4√(2) (كما خلطت الأقواس إحداثيات النقطتين) الشريحة 12: حُسب ص_(م)=5 وس_(م)=8 واستُنتج أن س أكبر، والصواب س=5 وص=8 فـ ص أكبر الشريحة 14: «محيط الدائرة = 100 س» والمقصود 100 سم، والمطلوب غير مذكور الشريحة 17: لم يُذكر أن الزاويتين متتامتان مع أن الحل يفترض ذلك الشريحة 34: جاء الناتج √(39) والصواب (√(3)/4)×36=9√(3) تدرّب على أسئلة الزوايا والمثلثات والإحداثيات في القدرات الكمي
أطلس الدروس الأخرى