أسئلة الزوايا والمثلثات والإحداثيات في القدرات الكمي

القواعد في هذا الدرس

• نقطة المنتصف
• المسافة بين نقطتين
• الزوايا المتتامة والمتكاملة والمتقابلة بالرأس
• الزوايا المركزية والمحيطية والأقواس
• طول القوس
• الزاوية الخارجية وزوايا المضلع
• تصنيف المثلثات
• متباينة المثلث
• فيثاغورس والمثلثات الخاصة
• منصف الزاوية في المثلث
• مساحة المثلث
• مساحة المستطيل ومحيطه

نماذج من أسئلة الزوايا والمثلثات والإحداثيات في القدرات الكمي مع الحل

1. أوجد إحداثيات نقطة المنتصف:

   أ(2، 6) ، ب(8، 10)

   1. أ) م(8، 5)
   2. ب) م(5، 8)
   3. ج) م(10، 16)
   4. د) م(3، 2)

   الإجابة الصحيحة: ب) م(5، 8)

   نقطة المنتصف = (متوسط السينات، متوسط الصادات).

   1. س=((2+8)/2)=5
   2. ص=((6+10)/2)=8
   3. م(5، 8)

   المفتاح: اجمع كل إحداثيين متناظرين واقسم على 2

   • أ) سوء قراءة المطلوب: بدّلتَ ترتيب الإحداثيين فوضعتَ الصادي مكان السيني
   • ج) الحل الناقص: جمعتَ الإحداثيات ونسيتَ القسمة على 2
   • د) القانون البديل: طرحتَ الإحداثيات بدل جمعها ثم قسمتَ على 2

2. قارن بين القيمتين:

   إذا كانت م(س، ص) منتصف القطعة الواصلة بين أ(2، 4) وب(8، 12)

   القيمة الأولى: س — القيمة الثانية: ص

   1. أ) القيمة الأولى أكبر
   2. ب) القيمة الثانية أكبر
   3. ج) القيمتان متساويتان
   4. د) المعطيات غير كافية

   الإجابة الصحيحة: ب) القيمة الثانية أكبر

   س=((2+8)/2)=5 وص=((4+12)/2)=8 ، إذن ص أكبر.

   1. س=((2+8)/2)=5
   2. ص=((4+12)/2)=8
   3. 8>5 فالقيمة الثانية أكبر

   المفتاح: احسب نقطة المنتصف أولًا ثم قارن

   • أ) سوء قراءة المطلوب: عكستَ الإحداثيين كما في الشريحة؛ السيني هو المتوسط الأول
   • ج) زلة حسابية: أخطأتَ في جمع أحد الإحداثيين فظننتهما متساويين
   • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن المعطيات لا تحدد النقطة، وهي تحددها تمامًا

3. أوجد إحداثيات نقطة المنتصف:

   أ(−4، 3) ، ب(6، −7)

   1. أ) (1، 2)
   2. ب) (5، −5)
   3. ج) (2، −4)
   4. د) (1، −2)

   الإجابة الصحيحة: د) (1، −2)

   (((−4+6)/2)، ((3+(−7))/2))=(1، −2).

   1. س=((−4+6)/2)=1
   2. ص=((3−7)/2)=−2

   المفتاح: انتبه للإشارات عند جمع الإحداثيات

   • أ) الإشارة: أخطأتَ في إشارة 3+(−7) فكتبتها موجبة
   • ب) القانون البديل: طرحتَ الإحداثيات بدل جمعها ثم قسمتَ على 2
   • ج) الحل الناقص: جمعتَ الإحداثيات ونسيتَ القسمة على 2

4. أوجد إحداثيات النقطة ب:

   إذا كانت م(3، 5) منتصف القطعة أب ، وأ(1، 2)

   1. أ) (5، 8)
   2. ب) (2، 3.5)
   3. ج) (4، 7)
   4. د) (−1، −1)

   الإجابة الصحيحة: أ) (5، 8)

   الطرف = 2×المنتصف − الطرف المعلوم.

   1. س_(ب)=2×3−1=5
   2. ص_(ب)=2×5−2=8

   المفتاح: الطرف المجهول = ضعف المنتصف ناقص الطرف المعلوم

   • ب) القانون البديل: حسبتَ منتصف أ و م بدل الطرف الآخر ب
   • ج) الحل الناقص: جمعتَ إحداثيات م و أ دون مضاعفة م
   • د) الإشارة: طرحتَ بالعكس فحسبتَ 2أ−م بدل 2م−أ

5. قارن بين القيمتين:

   إذا كانت (5، ص) منتصف القطعة الواصلة بين (س، 4) و(6، 10)

   القيمة الأولى: س — القيمة الثانية: ص

   1. أ) القيمة الأولى أكبر
   2. ب) القيمة الثانية أكبر
   3. ج) القيمتان متساويتان
   4. د) المعطيات غير كافية

   الإجابة الصحيحة: ب) القيمة الثانية أكبر

   س=2×5−6=4 وص=((4+10)/2)=7 ، فـ ص أكبر.

   1. 5=((س+6)/2) ⇒ س=4
   2. ص=((4+10)/2)=7
   3. 7>4

   المفتاح: استعمل قانون المنتصف في الاتجاهين

   • أ) زلة حسابية: أخطأتَ في حساب س فظننتها أكبر من ص
   • ج) القانون البديل: اعتبرتَ س = 5 لأنها في موضع المنتصف
   • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن س مجهولة لا تُعرف، والمنتصف يحددها

6. أوجد المسافة بين النقطتين:

   أ(1، 2) ، ب(5، 6)

   1. أ) 4√(2)
   2. ب) √(23)
   3. ج) 8
   4. د) 32

   الإجابة الصحيحة: أ) 4√(2)

   أب=√((5−1)²+(6−2)²)=√(32)=4√(2).

   1. (5−1)²=16 ، (6−2)²=16
   2. √(16+16)=√(32)=4√(2)

   المفتاح: ربّع فرق السينات وفرق الصادات ثم اجمع وخذ الجذر

   • ب) زلة حسابية: جمعتَ 16+16 فكتبتَ الناتج 23 بدل 32
   • ج) القانون البديل: جمعتَ فرقي الإحداثيين 4+4 دون تربيع وجذر
   • د) الحل الناقص: نسيتَ أخذ الجذر التربيعي في آخر خطوة

7. أوجد المسافة بين النقطتين:

   (1، 1) ، (4، 5)

   1. أ) 5
   2. ب) 7
   3. ج) 25
   4. د) √(61)

   الإجابة الصحيحة: أ) 5

   √(3²+4²)=√(25)=5.

   1. فرق السينات 3 وفرق الصادات 4
   2. √(9+16)=5

   المفتاح: الفرقان 3 و4 يعطيان 5 (ثلاثية فيثاغورس)

   • ب) القانون البديل: جمعتَ الفرقين 3+4 مباشرة دون فيثاغورس
   • ج) الحل الناقص: نسيتَ أخذ الجذر التربيعي للمجموع 25
   • د) الإشارة: جمعتَ الإحداثيات بدل طرحها داخل الأقواس

8. أوجد بُعد النقطة عن نقطة الأصل:

   (−6، 8)

   1. أ) 2
   2. ب) 14
   3. ج) 100
   4. د) 10

   الإجابة الصحيحة: د) 10

   √((−6)²+8²)=√(100)=10.

   1. (−6)²=36 ، 8²=64
   2. √(100)=10

   المفتاح: مربع السالب موجب دائمًا

   • أ) الإشارة: جمعتَ −6+8 بالإشارة فحصلتَ على 2
   • ب) القانون البديل: جمعتَ القيمتين 6+8 دون تربيع وجذر
   • ج) الحل الناقص: توقفتَ عند مجموع المربعات ونسيتَ الجذر

9. أوجد المسافة بين النقطتين:

   (2، −3) ، (2، 5)

   1. أ) 2
   2. ب) 8
   3. ج) 64
   4. د) 4

   الإجابة الصحيحة: ب) 8

   السينان متساويان، فالمسافة = |5−(−3)|=8.

   1. فرق السينات 0
   2. فرق الصادات 5−(−3)=8
   3. √(64)=8

   المفتاح: إذا تساوى إحداثي فالمسافة فرق الآخر

   • أ) الإشارة: حسبتَ 5+(−3) بدل 5−(−3)
   • ج) الحل الناقص: نسيتَ أخذ الجذر بعد التربيع
   • د) البعيد: خمّنتَ رقمًا دون تطبيق القانون

10. قارن بين القيمتين:

    أ(0، 0) ، ب(3، 4) ، ج(0، 5)

    القيمة الأولى: أب — القيمة الثانية: أج

    1. أ) القيمة الأولى أكبر
    2. ب) القيمة الثانية أكبر
    3. ج) القيمتان متساويتان
    4. د) المعطيات غير كافية

    الإجابة الصحيحة: ج) القيمتان متساويتان

    أب=√(9+16)=5 وأج=5 ، فهما متساويتان.

    1. أب=√(3²+4²)=5
    2. أج=|5−0|=5

    المفتاح: احسب كل مسافة بالقانون نفسه

    • أ) زلة حسابية: أخطأتَ في حساب أب فجعلتَه أكبر من 5
    • ب) القانون البديل: جمعتَ 3+4=7 بدل استعمال قانون المسافة
    • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن النقاط غير كافية، وكل الإحداثيات معطاة

11. أوجد قياس الزاوية الأخرى:

    زاويتان متتامتان، قياس إحداهما 30°

    1. أ) 150°
    2. ب) 30°
    3. ج) 60°
    4. د) 90°

    الإجابة الصحيحة: ج) 60°

    المتتامتان مجموعهما 90° ، فالأخرى 90−30=60°.

    1. 90−30=60

    المفتاح: متتامتان = 90، متكاملتان = 180

    • أ) القانون البديل: استعملتَ مجموع المتكاملتين 180 بدل 90
    • ب) الافتراض الخفي: افترضتَ أن الزاويتين متساويتان
    • د) سوء قراءة المطلوب: أعطيتَ مجموع الزاويتين بدل الزاوية الأخرى

12. ما قيمة س؟

    على خط مستقيم ثلاث زوايا متجاورة قياساتها 55° ، س ، 55° كما في الشكل

    1. أ) 125°
    2. ب) 35°
    3. ج) 70°
    4. د) 110°

    الإجابة الصحيحة: ج) 70°

    مجموع الزوايا على مستقيم 180° ، س=180−110=70°.

    1. 55+س+55=180
    2. س=180−110=70

    المفتاح: الزوايا على خط مستقيم مجموعها 180

    • أ) الحل الناقص: طرحتَ زاوية واحدة من 180 ونسيتَ الثانية
    • ب) القانون البديل: استعملتَ مجموع 90 بدل 180 للزوايا على المستقيم
    • د) سوء قراءة المطلوب: أعطيتَ مجموع الزاويتين المعلومتين بدل س

13. ما قيمة س؟

    زاويتان متجاورتان على خط مستقيم قياساهما 40° وس

    1. أ) 140°
    2. ب) 50°
    3. ج) 40°
    4. د) 320°

    الإجابة الصحيحة: أ) 140°

    40+س=180 ⇒ س=140°.

    1. 40+س=180
    2. س=140

    المفتاح: المتجاورتان على مستقيم متكاملتان

    • ب) القانون البديل: استعملتَ مجموع 90 بدل 180
    • ج) الافتراض الخفي: افترضتَ أن الزاويتين متساويتان كالمتقابلتين بالرأس
    • د) القانون البديل: استعملتَ مجموع الزوايا حول نقطة 360 بدل 180

14. ما قيمة س؟

    مستقيمان متقاطعان، زاويتان متقابلتان بالرأس إحداهما 65° والأخرى س

    1. أ) 115°
    2. ب) 65°
    3. ج) 25°
    4. د) 130°

    الإجابة الصحيحة: ب) 65°

    الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان.

    1. المتقابلتان بالرأس متساويتان
    2. س=65°

    المفتاح: المتقابلتان بالرأس متساويتان، والمتجاورتان متكاملتان

    • أ) القانون البديل: ظننتَ المتقابلتين بالرأس متكاملتين
    • ج) القانون البديل: ظننتَ المتقابلتين بالرأس متتامتين
    • د) البعيد: ضاعفتَ الزاوية دون سبب هندسي

15. أوجد قياس الزاوية الكبرى:

    زاويتان متكاملتان، قياس إحداهما ضعف قياس الأخرى

    1. أ) 60°
    2. ب) 120°
    3. ج) 90°
    4. د) 30°

    الإجابة الصحيحة: ب) 120°

    س+2س=180 ⇒ س=60 ، والكبرى 120°.

    1. 3س=180
    2. س=60
    3. الكبرى 2س=120

    المفتاح: اكتب الزاويتين بدلالة متغير واحد

    • أ) سوء قراءة المطلوب: أعطيتَ الزاوية الصغرى والمطلوب الكبرى
    • ج) الافتراض الخفي: قسمتَ 180 على 2 كأن الزاويتين متساويتان
    • د) القانون البديل: استعملتَ مجموع المتتامتين 90 فحصلتَ على الصغرى 30

16. قارن بين القيمتين:

    س متممة لزاوية قياسها 35° ، وص مكملة لزاوية قياسها 125°

    القيمة الأولى: س — القيمة الثانية: ص

    1. أ) القيمة الأولى أكبر
    2. ب) القيمة الثانية أكبر
    3. ج) القيمتان متساويتان
    4. د) المعطيات غير كافية

    الإجابة الصحيحة: ج) القيمتان متساويتان

    س=90−35=55° وص=180−125=55°.

    1. س=55
    2. ص=55

    المفتاح: المتممة من 90، المكملة من 180

    • أ) القانون البديل: حسبتَ س مكملة (145) بدل متممة
    • ب) القانون البديل: حسبتَ ص متممة لا مكملة فاختلّت المقارنة
    • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن المعطيات لا تحدد الزاويتين

17. ما قيمة س؟

    مستقيمان متقاطعان، زاوية قياسها 3س° تقابل بالرأس زاوية قياسها 75°

    1. أ) 75
    2. ب) 35
    3. ج) 5
    4. د) 25

    الإجابة الصحيحة: د) 25

    المتقابلتان بالرأس متساويتان: 3س=75 ⇒ س=25.

    1. 3س=75
    2. س=25

    المفتاح: ساوِ المتقابلتين ثم حل المعادلة

    • أ) الحل الناقص: أعطيتَ قياس الزاوية ولم تقسم على 3 لإيجاد س
    • ب) القانون البديل: اعتبرتَ الزاويتين متكاملتين فحللتَ 3س=105
    • ج) البعيد: خمّنتَ قيمة بلا معادلة

18. أوجد قياس الزاوية المحيطية:

    زاوية محيطية تقابل قوسًا قياسه 80°

    1. أ) 80°
    2. ب) 160°
    3. ج) 40°
    4. د) 140°

    الإجابة الصحيحة: ج) 40°

    المحيطية = نصف القوس المقابل لها.

    1. المركزية = 80°
    2. المحيطية = (80/2)=40°

    المفتاح: المحيطية نصف القوس، والمركزية تساويه

    • أ) القانون البديل: أعطيتَ قياس الزاوية المركزية لا المحيطية
    • ب) القانون البديل: ضربتَ في 2 بدل القسمة على 2
    • د) سوء قراءة المطلوب: قسمتَ القوس الأكبر 360−80 على 2

19. أوجد قياس الزاوية المركزية:

    زاوية محيطية قياسها 35° ، والزاوية المركزية تقابل القوس نفسه

    1. أ) 70°
    2. ب) 17.5°
    3. ج) 35°
    4. د) 145°

    الإجابة الصحيحة: أ) 70°

    المركزية = ضعف المحيطية المشتركة معها في القوس.

    1. 2×35=70

    المفتاح: المركزية ضعف المحيطية على القوس نفسه

    • ب) القانون البديل: قسمتَ على 2 بدل الضرب
    • ج) الافتراض الخفي: افترضتَ تساوي المركزية والمحيطية
    • د) البعيد: طرحتَ من 180 دون علاقة بالدائرة

20. أوجد قياس القوس:

    زاوية محيطية قياسها 45°

    1. أ) 22.5°
    2. ب) 45°
    3. ج) 135°
    4. د) 90°

    الإجابة الصحيحة: د) 90°

    قياس القوس = 2× المحيطية.

    1. 2×45=90

    المفتاح: القوس ضعف المحيطية

    • أ) القانون البديل: قسمتَ على 2 كأن القوس نصف الزاوية
    • ب) القانون البديل: جعلتَ القوس مساويًا للمحيطية، وهذا للمركزية فقط
    • ج) البعيد: طرحتَ من 180 دون مبرر

حل كل أسئلة الدرس (٧٤ سؤالاً)

اقرأ الشرح في الأطلس: شرح الزوايا والمثلثات والإحداثيات في القدرات الكمي