أسئلة الأسس والقوى في القدرات الكمي

القواعد في هذا الدرس

• طرق حل المعادلة الأسية
• العدد المرفوع لأكثر من أُس
• ضرب الأساسات المتشابهة
• قسمة الأساسات المتشابهة
• ضرب أساسات مختلفة
• جمع وطرح الأساسات المتشابهة
• الأس الزوجي والفردي للعدد السالب
• تحويل الأس السالب إلى موجب
• مقارنة أعداد أسّية كبيرة
• الحساب الذهني بتقريب العدد

نماذج من أسئلة الأسس والقوى في القدرات الكمي مع الحل

1. ما قيمة س؟

   إذا كان 3^7=3^س

   1. أ) 3
   2. ب) 7
   3. ج) 21
   4. د) 10

   الإجابة الصحيحة: ب) 7

   الأساسان متساويان فالأسان متساويان: س=7.

   1. الأساس = الأساس
   2. إذن الأس = الأس: س=7

   المفتاح: تساوى الأساسان ⇐ ساوِ الأسين

   • أ) سوء قراءة المطلوب: أجبتَ بالأساس 3 بدل الأس
   • ج) القانون البديل: ضربتَ الأساس في الأس
   • د) البعيد: جمعتَ الأساس والأس دون قاعدة

2. قدّر قيمة س:

   إذا كان 3^س=243

   1. أ) 4
   2. ب) 81
   3. ج) 5
   4. د) 240

   الإجابة الصحيحة: ج) 5

   3^5=243 فـ س=5.

   1. 3,9,27,81,243
   2. 243=3^5 ⇐ س=5

   المفتاح: احفظ قوى 2 و3 و5 الأولى

   • أ) زلة حسابية: حسبتَ قوى 3 خطأً فظننتَ 3^4=243
   • ب) القانون البديل: قسمتَ 243 على 3 كأن الأس قسمة واحدة
   • د) البعيد: طرحتَ 3 من 243 دون صلة بالقاعدة

3. ما قيمة س؟

   إذا كان 3^(2س)=81

   1. أ) 4
   2. ب) (81/2)
   3. ج) 2
   4. د) 1

   الإجابة الصحيحة: ج) 2

   81=3^4 فـ 2س=4 ⇐ س=2.

   1. 81=3^4
   2. 2س=4
   3. س=2

   المفتاح: اكتب العدد قوةً للأساس نفسه ثم ساوِ الأسس

   • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند 2س=4
   • ب) القانون البديل: قسمتَ 81 على 2 دون كتابته قوةً للعدد 3
   • د) زلة حسابية: كتبتَ 81=3² خطأً

4. ما قيمة س؟

   إذا كان س^س=1 وكان س عددًا صحيحًا موجبًا

   1. أ) 0
   2. ب) 2
   3. ج) لا يوجد حل
   4. د) 1

   الإجابة الصحيحة: د) 1

   1^1=1.

   1. جرّب أصغر عدد صحيح موجب: 1^1=1

   المفتاح: في المعادلات الصغيرة جرّب الأعداد مباشرة

   • أ) القانون البديل: قستَ على قاعدة الأس الصفري، والصفر ليس موجبًا
   • ب) زلة حسابية: حسبتَ 2² خطأً
   • ج) البعيد: ظننتَ أن الأساس والأس المتساويين لا يعطيان 1

5. ما قيمة س؟

   إذا كان 5^(س+1)=125

   1. أ) 3
   2. ب) 2
   3. ج) 25
   4. د) 4

   الإجابة الصحيحة: ب) 2

   125=5³ فـ س+1=3 ⇐ س=2.

   1. 125=5³
   2. س+1=3
   3. س=2

   المفتاح: ساوِ الأسين ثم حل المعادلة البسيطة

   • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند س+1=3
   • ج) القانون البديل: قسمتَ 125 على 5 بدل كتابته قوة
   • د) زلة حسابية: كتبتَ 125=5^5 خطأً

6. ما قيم س الممكنة؟

   إذا كان س^4=16 وكان س عددًا صحيحًا

   1. أ) س=2 فقط
   2. ب) س=4
   3. ج) س=4 أو س=−4
   4. د) س=2 أو س=−2

   الإجابة الصحيحة: د) س=2 أو س=−2

   2^4=16 و (−2)^4=16 لأن الأس زوجي.

   1. 16=2^4
   2. الأس زوجي ⇐ الأساس موجب أو سالب
   3. س=±2

   المفتاح: الأس الزوجي يقبل الأساس وسالبه

   • أ) الافتراض الخفي: افترضتَ أن س موجب ونسيتَ أن (−2)^4=16
   • ب) القانون البديل: قسمتَ 16 على الأس 4 بدل أخذ الجذر الرابع
   • ج) زلة حسابية: أخذتَ الجذر التربيعي لـ 16 بدل الجذر الرابع

7. ما قيمة س؟

   إذا كان 4^س=2^6

   1. أ) 3
   2. ب) 6
   3. ج) (3/2)
   4. د) 12

   الإجابة الصحيحة: أ) 3

   4=2² فـ 2^(2س)=2^6 ⇐ 2س=6 ⇐ س=3.

   1. 4^س=(2²)^س=2^(2س)
   2. 2س=6
   3. س=3

   المفتاح: اختلف الأساسان ⇐ وحّدهما أولًا

   • ب) الحل الناقص: توقفتَ عند 2س=6 دون القسمة على 2
   • ج) القانون البديل: قسمتَ 6 على 4 دون توحيد الأساس
   • د) زلة حسابية: ضربتَ 2×6 بدل القسمة

8. هل للمعادلة حل؟

   إذا كان 2^س=0

   1. أ) لا يوجد حل
   2. ب) س=0
   3. ج) س=1
   4. د) س=−1

   الإجابة الصحيحة: أ) لا يوجد حل

   2^س موجبة دائمًا مهما كانت س، فلا تساوي صفرًا.

   1. 2^س>0 لكل س
   2. لا حل للمعادلة

   المفتاح: القوة لأساس موجب لا تكون صفرًا ولا سالبة

   • ب) القانون البديل: ظننتَ 2^0=0 والصواب 2^0=1
   • ج) البعيد: خلطتَ بين 2^1=2 والصفر
   • د) الإشارة: ظننتَ الأس السالب يجعل الناتج صفرًا، و 2^(−1)=(1/2)

9. ما قيمة س؟

   إذا كان 8^س=2^(12)

   1. أ) 12
   2. ب) 4
   3. ج) (3/2)
   4. د) 6

   الإجابة الصحيحة: ب) 4

   8=2³ فـ 2^(3س)=2^(12) ⇐ س=4.

   1. 8^س=2^(3س)
   2. 3س=12
   3. س=4

   المفتاح: وحّد الأساس إلى أصغر عدد أولي

   • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند 3س=12
   • ج) القانون البديل: قسمتَ 12 على 8 دون توحيد الأساس
   • د) زلة حسابية: كتبتَ 8=2² خطأً

10. أوجد ناتج:

    (3²)^4

    1. أ) 3^6
    2. ب) 3^(16)
    3. ج) 6^8
    4. د) 3^8

    الإجابة الصحيحة: د) 3^8

    العدد المرفوع لأكثر من أس نضرب الأسس: 2×4=8.

    1. (أ^م)^ن=أ^(م×ن)
    2. 3^(2×4)=3^8

    المفتاح: قوة القوة ⇐ اضرب الأسس

    • أ) القانون البديل: جمعتَ الأسين بدل ضربهما
    • ب) زلة حسابية: حسبتَ 2^4 بدل 2×4
    • ج) ترتيب العمليات: ضربتَ الأساس في الأس الداخلي قبل تطبيق القاعدة

11. أوجد قيمة:

    (5³)²

    1. أ) 5^6
    2. ب) 5^5
    3. ج) 5^9
    4. د) 10^6

    الإجابة الصحيحة: أ) 5^6

    (5³)²=5^(3×2)=5^6.

    1. نضرب الأسس: 3×2=6
    2. 5^6

    المفتاح: الأس الخارجي يضرب الأس الداخلي

    • ب) القانون البديل: جمعتَ الأسين بدل ضربهما
    • ج) زلة حسابية: رفعتَ الأس 3 للقوة 2 بدل ضربهما
    • د) ترتيب العمليات: ضربتَ الأساس 5 في الأس الخارجي 2

12. أوجد قيمة:

    (2^4)³

    1. أ) 2^7
    2. ب) 2^(64)
    3. ج) 2^(12)
    4. د) 6^4

    الإجابة الصحيحة: ج) 2^(12)

    2^(4×3)=2^(12).

    1. نضرب الأسس: 4×3=12
    2. 2^(12)

    المفتاح: لا ترفع الأس لقوة؛ اضرب الأسين

    • أ) القانون البديل: جمعتَ الأسين بدل ضربهما
    • ب) زلة حسابية: حسبتَ 4³ بدل 4×3
    • د) ترتيب العمليات: ضربتَ الأساس 2 في الأس الخارجي 3

13. بسّط:

    (5²)³

    1. أ) 5^5
    2. ب) 5^8
    3. ج) 5^6
    4. د) 15²

    الإجابة الصحيحة: ج) 5^6

    (5²)³=5^(2×3)=5^6.

    1. 2×3=6
    2. 5^6

    المفتاح: قوة لقوة ⇐ اضرب الأسس

    • أ) القانون البديل: جمعتَ الأسين بدل ضربهما
    • ب) زلة حسابية: حسبتَ 2³ بدل 2×3
    • د) ترتيب العمليات: ضربتَ الأساس في الأس الخارجي

14. ما قيمة س؟

    إذا كان (2^س)³=2^(12)

    1. أ) 4
    2. ب) 9
    3. ج) 12
    4. د) 36

    الإجابة الصحيحة: أ) 4

    (2^س)³=2^(3س) فـ 3س=12 ⇐ س=4.

    1. 2^(3س)=2^(12)
    2. 3س=12
    3. س=4

    المفتاح: اضرب الأسس ثم ساوِ

    • ب) القانون البديل: جمعتَ الأسين: س+3=12
    • ج) الحل الناقص: توقفتَ عند 3س=12
    • د) زلة حسابية: ضربتَ 12×3 بدل القسمة

15. أوجد ناتج:

    4³×4^5

    1. أ) 4^(15)
    2. ب) 16^8
    3. ج) 4²
    4. د) 4^8

    الإجابة الصحيحة: د) 4^8

    عند ضرب الأساسات المتشابهة نجمع الأسس: 3+5=8.

    1. الأساس واحد: 4
    2. 3+5=8
    3. 4^8

    المفتاح: ضرب ⇐ اجمع الأسس وأبقِ الأساس

    • أ) القانون البديل: ضربتَ الأسين بدل جمعهما
    • ب) القانون البديل: ضربتَ الأساسين أيضًا، والأساس يبقى كما هو
    • ج) الإشارة: طرحتَ الأسين كما في القسمة

16. أوجد ناتج:

    2^5×2³×2

    1. أ) 2^8
    2. ب) 2^9
    3. ج) 2^(15)
    4. د) 8^9

    الإجابة الصحيحة: ب) 2^9

    5+3+1=9.

    1. 2=2^1
    2. 5+3+1=9
    3. 2^9

    المفتاح: العدد بلا أس أسه 1

    • أ) الحل الناقص: نسيتَ أن 2=2^1 فلم تجمع أسه
    • ج) القانون البديل: ضربتَ الأسس بدل جمعها
    • د) القانون البديل: ضربتَ الأساسات الثلاثة أيضًا

17. ما قيمة س؟

    إذا كان 3^س×3^4=3^(10)

    1. أ) (5/2)
    2. ب) 14
    3. ج) 3
    4. د) 6

    الإجابة الصحيحة: د) 6

    س+4=10 ⇐ س=6.

    1. 3^(س+4)=3^(10)
    2. س+4=10
    3. س=6

    المفتاح: حوّل الضرب إلى جمع أسس ثم ساوِ

    • أ) القانون البديل: قسمتَ 10÷4 كأن الأسين يُضربان
    • ب) الإشارة: جمعتَ 4 إلى 10 بدل طرحه
    • ج) سوء قراءة المطلوب: أجبتَ بالأساس 3

18. بسّط:

    (12^9×12^4/12³)

    1. أ) 12^(33)
    2. ب) 12^(10)
    3. ج) 12^(16)
    4. د) 12^(12)

    الإجابة الصحيحة: ب) 12^(10)

    في الضرب نجمع 9+4=13، وفي القسمة نطرح 13−3=10.

    1. البسط: 12^(13)
    2. القسمة: 13−3=10
    3. 12^(10)

    المفتاح: اجمع أسس البسط ثم اطرح أس المقام

    • أ) القانون البديل: ضربتَ الأسين 9×4 ثم طرحتَ 3
    • ج) الإشارة: جمعتَ أس المقام بدل طرحه
    • د) القانون البديل: قسمتَ الأس 36 على 3 بدل الطرح

19. أوجد ناتج:

    (4^5/4²)

    1. أ) 4³
    2. ب) 4^7
    3. ج) 4^((5/2))
    4. د) 1³

    الإجابة الصحيحة: أ) 4³

    عند قسمة الأساسات المتشابهة نطرح الأسس: 5−2=3.

    1. 5−2=3
    2. 4³

    المفتاح: قسمة ⇐ اطرح الأسس (البسط − المقام)

    • ب) الإشارة: جمعتَ الأسين بدل طرحهما
    • ج) القانون البديل: قسمتَ الأسين بدل طرحهما
    • د) القانون البديل: قسمتَ الأساس على الأساس

20. بسّط:

    (2^7/2³)

    1. أ) 2^(10)
    2. ب) 1
    3. ج) 16
    4. د) 2^(21)

    الإجابة الصحيحة: ج) 16

    2^(7−3)=2^4=16.

    1. 7−3=4
    2. 2^4=16

    المفتاح: اطرح ثم احسب

    • أ) الإشارة: جمعتَ الأسين بدل طرحهما
    • ب) القانون البديل: قسمتَ الأساس على الأساس فحصلتَ 1
    • د) القانون البديل: ضربتَ الأسين

حل كل أسئلة الدرس (٥٤ سؤالاً)

اقرأ الشرح في الأطلس: شرح الأسس والقوى في القدرات الكمي