أسئلة الاحتمال والأنماط والقسمة في القدرات الكمي

القواعد في هذا الدرس

• الاحتمال
• مبدأ العد
• مقاييس النزعة المركزية والمدى
• التوافق والتباديل
• تجربة الاختيارات
• التجربة لحل المعادلات
• الرسم لحل تمرين الكلمة وعكسها
• استبدال المتغيرات بأرقام
• دوري الأيام
• دوري الساعات
• الأنماط
• المتتابعة الحسابية
• تعلّم القسمة بسرعة
• قابلية القسمة
• العدد الأولي والعوامل الأولية
• باقي القسمة وعدد داخل عدد
• أشهر التحويلات في القدرات
• المعادلة والمتطابقة
• ميل الخط المستقيم
• الكميات المتناسبة
• المربع الكامل والفرق بين مربعين
• المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر

نماذج من أسئلة الاحتمال والأنماط والقسمة في القدرات الكمي مع الحل

1. ما احتمال الحصول على عدد زوجي؟

   أُلقي حجر نرد مرة واحدة.

   1. أ) (1/3)
   2. ب) (1/2)
   3. ج) (1/6)
   4. د) 3

   الإجابة الصحيحة: ب) (1/2)

   نواتج الحدث (2، 4، 6) أي 3 من أصل 6 نواتج، فالاحتمال (3/6)=(1/2).

   1. فضاء العينة (1، 2، 3، 4، 5، 6) فيه 6 عناصر
   2. الحدث (زوجي) (2، 4، 6) فيه 3 عناصر
   3. الاحتمال =(3/6)=(1/2)

   المفتاح: الاحتمال = عدد نواتج الحدث ÷ عدد النواتج كلها

   • أ) زلة حسابية: عددتَ الزوجية 2 و4 فقط ونسيتَ العدد 6
   • ج) سوء قراءة المطلوب: حسبتَ احتمال ظهور عدد زوجي واحد بعينه لا كل الأعداد الزوجية
   • د) الحل الناقص: توقفتَ عند عدد نواتج الحدث 3 ونسيتَ القسمة على عدد النواتج الكلي

2. ما احتمال سحب كرة زرقاء؟

   صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء وكرتين زرقاوين، سُحبت كرة واحدة عشوائيًا.

   1. أ) (1/2)
   2. ب) (2/3)
   3. ج) (1/6)
   4. د) (1/3)

   الإجابة الصحيحة: د) (1/3)

   الكرات الزرقاء 2 من أصل 6 كرات، فالاحتمال (2/6)=(1/3).

   1. عدد الكرات الكلي 4+2=6
   2. عدد الزرقاء 2
   3. الاحتمال =(2/6)=(1/3)

   المفتاح: المقام دائمًا العدد الكلي لا عدد النوع الآخر

   • أ) القانون البديل: قسمتَ عدد الزرقاء على عدد الحمراء (2/4) بدل القسمة على العدد الكلي
   • ب) سوء قراءة المطلوب: حسبتَ احتمال سحب كرة حمراء (4/6) لا زرقاء
   • ج) البعيد: اعتبرتَ أن هناك نتيجة مرغوبة واحدة من 6 دون حساب عدد الزرقاء

3. ما احتمال ألا تكون الكرة المسحوبة خضراء؟

   كيس فيه 3 كرات حمراء و5 خضراء و4 صفراء، سُحبت منه كرة واحدة عشوائيًا.

   1. أ) (7/12)
   2. ب) (5/12)
   3. ج) (7/5)
   4. د) (1/4)

   الإجابة الصحيحة: أ) (7/12)

   غير الخضراء 3+4=7 من أصل 12 كرة، فالاحتمال (7/12).

   1. العدد الكلي 3+5+4=12
   2. غير الخضراء = الحمراء + الصفراء =7
   3. الاحتمال =(7/12) (أو 1−(5/12))

   المفتاح: احتمال عدم وقوع الحدث = 1 − احتمال وقوعه

   • ب) سوء قراءة المطلوب: حسبتَ احتمال أن تكون خضراء بدل ألا تكون خضراء
   • ج) القانون البديل: قسمتَ عدد غير الخضراء على عدد الخضراء بدل العدد الكلي
   • د) الحل الناقص: عددتَ الحمراء فقط ونسيتَ أن الصفراء أيضًا ليست خضراء

4. قارن بين القيمتين:

   أُلقي حجر نرد مرة واحدة.

   القيمة الأولى: احتمال ظهور عدد أوّلي — القيمة الثانية: احتمال ظهور عدد فردي

   1. أ) القيمة الأولى أكبر
   2. ب) القيمة الثانية أكبر
   3. ج) القيمتان متساويتان
   4. د) المعطيات غير كافية

   الإجابة الصحيحة: ج) القيمتان متساويتان

   الأعداد الأولية (2، 3، 5) والفردية (1، 3، 5)، كلاهما 3 نواتج من 6، فالاحتمالان (1/2).

   1. الأوّلية من 1 إلى 6: 2، 3، 5
   2. الفردية: 1، 3، 5
   3. كلاهما (3/6) فالقيمتان متساويتان

   المفتاح: تذكّر: 1 ليس أوّليًا و2 أوّلي زوجي

   • أ) القانون البديل: عددتَ 1 عددًا أوّليًا فصار احتمال الأوّلي (4/6)
   • ب) زلة حسابية: نسيتَ أن 2 عدد أوّلي فصار احتمال الأوّلي (2/6)
   • د) الافتراض الخفي: ظننتَ المقارنة تحتاج معطيات إضافية مع أن فضاء العينة معلوم كاملًا

5. كم عدد الطرق المختلفة لاختيار زي مكوّن من قميص وبنطال؟

   لدى طالب 3 قمصان وبنطالان.

   1. أ) 5
   2. ب) 3
   3. ج) 6
   4. د) 8

   الإجابة الصحيحة: ج) 6

   التجربة مرحلتان: قميص (3 طرق) ثم بنطال (طريقتان)، فعدد الطرق 3×2=6.

   1. طرق اختيار القميص = 3
   2. طرق اختيار البنطال = 2
   3. عدد الطرق =3×2=6

   المفتاح: المراحل المتتالية تُضرب طرقها ولا تُجمع

   • أ) القانون البديل: جمعتَ عدد الطرق 3+2 بدل ضربها
   • ب) الحل الناقص: حسبتَ طرق اختيار القميص فقط ونسيتَ مرحلة البنطال
   • د) البعيد: رقم لا ينتج من أي عملية على 3 و2 في هذا السؤال

6. كم وجبة مختلفة يمكن تكوينها من طبق رئيس وعصير وحلوى؟

   مطعم يقدّم 4 أطباق رئيسة و3 أنواع عصير ونوعين من الحلوى.

   1. أ) 9
   2. ب) 12
   3. ج) 24
   4. د) 18

   الإجابة الصحيحة: ج) 24

   ثلاث مراحل اختيار، فعدد الوجبات 4×3×2=24.

   1. المرحلة الأولى 4 طرق
   2. الثانية 3 طرق والثالثة طريقتان
   3. العدد الكلي 4×3×2=24

   المفتاح: عدد المراحل = عدد العوامل المضروبة

   • أ) القانون البديل: جمعتَ 4+3+2 بدل ضرب طرق المراحل الثلاث
   • ب) الحل الناقص: ضربتَ مرحلتين فقط 4×3 ونسيتَ الحلوى
   • د) زلة حسابية: أخطأتَ في عدد الأطباق فضربتَ 3×3×2

7. كم عددًا مكوّنًا من 3 أرقام يمكن تكوينه؟

   الأرقام المتاحة 1، 2، 3، 4، 5 ويُسمح بتكرار الرقم.

   1. أ) 125
   2. ب) 60
   3. ج) 15
   4. د) 243

   الإجابة الصحيحة: أ) 125

   كل خانة من الخانات الثلاث لها 5 اختيارات لأن التكرار مسموح: 5×5×5=125.

   1. خانة المئات 5 اختيارات
   2. خانة العشرات 5 وخانة الآحاد 5 (التكرار مسموح)
   3. 5×5×5=125

   المفتاح: مع التكرار لا ينقص عدد الاختيارات من خانة لأخرى

   • ب) سوء قراءة المطلوب: تجاهلتَ أن التكرار مسموح فحسبتَ 5×4×3
   • ج) القانون البديل: ضربتَ عدد الأرقام في عدد الخانات 5×3
   • د) القانون البديل: قلبتَ الأس فحسبتَ 3^5 بدل 5³

8. كم طريقة متاحة لها لاختيار فستان وحذاء؟

   لدى سارة 5 فساتين و4 أحذية، واستبعدت فستانًا واحدًا لأنه صغير عليها.

   1. أ) 20
   2. ب) 8
   3. ج) 15
   4. د) 16

   الإجابة الصحيحة: د) 16

   بعد الاستبعاد يبقى 4 فساتين، فعدد الطرق 4×4=16.

   1. الفساتين المتاحة 5−1=4
   2. الأحذية 4
   3. عدد الطرق 4×4=16

   المفتاح: عدّل عدد الاختيارات في كل مرحلة أولًا ثم اضرب

   • أ) سوء قراءة المطلوب: لم تنتبه لاستبعاد الفستان فحسبتَ 5×4
   • ب) القانون البديل: جمعتَ 4+4 بدل ضرب طرق المرحلتين في بعضها
   • ج) زلة حسابية: حسبتَ 5×4=20 ثم طرحتَ 5 بدل إعادة الحساب بأربعة فساتين

9. أوجد الوسط الحسابي للقيم:

   2 ، 4 ، 6 ، 8

   1. أ) 20
   2. ب) 5
   3. ج) 4
   4. د) 6

   الإجابة الصحيحة: ب) 5

   الوسط =((2+4+6+8)/4)=(20/4)=5.

   1. مجموع القيم =20
   2. عدد القيم 4
   3. الوسط =(20/4)=5

   المفتاح: الوسط = المجموع ÷ العدد

   • أ) الحل الناقص: توقفتَ عند مجموع القيم ونسيتَ القسمة على عددها
   • ج) زلة حسابية: قسمتَ المجموع 20 على 5 بدل 4
   • د) القانون البديل: حسبتَ المدى 8−2 بدل الوسط الحسابي

10. أوجد الوسيط للقيم:

    3 ، 7 ، 5 ، 9 ، 1

    1. أ) 8
    2. ب) 5
    3. ج) 9
    4. د) 25

    الإجابة الصحيحة: ب) 5

    بعد الترتيب 1، 3، 5، 7، 9 تكون القيمة في المنتصف 5.

    1. رتّب القيم تصاعديًا: 1، 3، 5، 7، 9
    2. عدد القيم 5 فالوسيط هو الثالث
    3. الوسيط =5

    المفتاح: رتّب أولًا ثم خذ القيمة التي في المنتصف

    • أ) القانون البديل: حسبتَ المدى 9−1 بدل القيمة الوسطى بعد الترتيب
    • ج) سوء قراءة المطلوب: اخترتَ أكبر قيمة بدل القيمة الوسطى
    • د) الحل الناقص: جمعتَ القيم ولم تكمل؛ والوسيط لا يحتاج جمعًا أصلًا

11. أوجد المنوال للقيم:

    4 ، 6 ، 4 ، 8 ، 4 ، 6

    1. أ) 6
    2. ب) 3
    3. ج) (16/3)
    4. د) 4

    الإجابة الصحيحة: د) 4

    العدد 4 تكرر 3 مرات وهو الأكثر تكرارًا، فالمنوال 4.

    1. تكرار 4: ثلاث مرات
    2. تكرار 6: مرتان، و8: مرة
    3. المنوال =4

    المفتاح: المنوال قيمة لا عدد مرات

    • أ) زلة حسابية: أخطأتَ في عدّ التكرار فظننتَ 6 الأكثر تكرارًا
    • ب) سوء قراءة المطلوب: أعطيتَ عدد مرات تكرار القيمة 3 بدل القيمة نفسها
    • ج) القانون البديل: حسبتَ الوسط الحسابي (32/6) بدل المنوال

12. أوجد المدى للقيم:

    10 ، 3 ، 7 ، 15 ، 5

    1. أ) 12
    2. ب) 15
    3. ج) 5
    4. د) 8

    الإجابة الصحيحة: أ) 12

    المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة =15−3=12.

    1. أكبر قيمة 15
    2. أصغر قيمة 3
    3. المدى =15−3=12

    المفتاح: المدى = الأكبر − الأصغر بعد تحديدهما

    • ب) سوء قراءة المطلوب: اخترتَ أكبر قيمة دون طرح أصغر قيمة منها
    • ج) القانون البديل: طرحتَ آخر قيمة من أولها 10−5 دون تحديد الأكبر والأصغر
    • د) القانون البديل: حسبتَ الوسط الحسابي (40/5) بدل المدى

13. قارن بين القيمتين:

    القيم: 3 ، 2 ، 4 ، 8 ، 3

    القيمة الأولى: الوسط الحسابي للقيم — القيمة الثانية: الوسيط للقيم

    1. أ) القيمة الأولى أكبر
    2. ب) القيمة الثانية أكبر
    3. ج) القيمتان متساويتان
    4. د) المعطيات غير كافية

    الإجابة الصحيحة: أ) القيمة الأولى أكبر

    الوسط (20/5)=4، والوسيط بعد الترتيب 2، 3، 3، 4، 8 هو 3، فالأولى أكبر.

    1. المجموع =20 والوسط =4
    2. الترتيب: 2، 3، 3، 4، 8
    3. الوسيط =3 إذن الأولى أكبر

    المفتاح: القيمة المتطرفة الكبيرة ترفع الوسط ولا تحرّك الوسيط كثيرًا

    • ب) زلة حسابية: أخطأتَ في جمع القيم فصار الوسط أقل من حقيقته
    • ج) القانون البديل: أخذتَ القيمة الوسطى 4 قبل ترتيب القيم فظننتَ الوسيط 4
    • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن القيم لا تكفي للحكم مع أن المقياسين يُحسبان مباشرة

14. كم عدد الصور الممكنة لوقوف 3 أفراد من بين 5 أفراد في صف واحد؟

    1. أ) 60
    2. ب) 10
    3. ج) 125
    4. د) 20

    الإجابة الصحيحة: أ) 60

    الوقوف في صف يعني أن الترتيب مهم، فنستخدم التباديل: 5×4×3=60.

    1. الترتيب مهم ← تباديل
    2. 3 عوامل تنازليًا من 5
    3. 5×4×3=60

    المفتاح: صف أو ترتيب أو أرقام ← تباديل

    • ب) القانون البديل: استخدمتَ التوافق فقسمتَ على 3×2×1 مع أن الترتيب مهم
    • ج) القانون البديل: سمحتَ بتكرار الشخص نفسه في الصف فحسبتَ 5³
    • د) الحل الناقص: توقفتَ عند 5×4 ونسيتَ العامل الثالث

15. كم عددًا مكوّنًا من 3 أرقام مختلفة يمكن تكوينه؟

    الأرقام المتاحة: 2 ، 4 ، 6 ، 8

    1. أ) 4
    2. ب) 64
    3. ج) 12
    4. د) 24

    الإجابة الصحيحة: د) 24

    تكوين الأعداد ترتيب مهم دون تكرار: 4×3×2=24.

    1. خانة المئات 4 اختيارات
    2. العشرات 3 والآحاد 2
    3. 4×3×2=24

    المفتاح: أرقام مختلفة ← ينقص الاختيار واحدًا في كل خانة

    • أ) القانون البديل: استخدمتَ التوافق مع أن تكوين الأعداد يجعل الترتيب مهمًا
    • ب) سوء قراءة المطلوب: تجاهلتَ شرط أن تكون الأرقام مختلفة فحسبتَ 4³
    • ج) الحل الناقص: حسبتَ خانتين فقط 4×3 ونسيتَ خانة الآحاد

16. كم عدد الطرق الممكنة لاختيار الموظفين؟

    يختار مدير شركة 3 موظفين من أصل 5 عشوائيًا ليذهبوا إلى الدوام المسائي.

    1. أ) 60
    2. ب) 15
    3. ج) 10
    4. د) 6

    الإجابة الصحيحة: ج) 10

    الترتيب غير مهم فنستخدم التوافق: ((5×4×3)/(3×2×1))=10.

    1. الاختيار دون ترتيب ← توافق
    2. البسط 5×4×3=60 والمقام 3×2×1=6
    3. عدد الطرق (60/6)=10

    المفتاح: لا يهم الترتيب ← توافق: اقسم على مضروب العدد المختار

    • أ) القانون البديل: استخدمتَ التباديل 5×4×3 مع أن الترتيب غير مهم
    • ب) القانون البديل: ضربتَ 5×3 بدل استخدام قانون التوافق
    • د) الحل الناقص: حسبتَ المقام 3×2×1 فقط ونسيتَ البسط

17. كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 أفراد من بين 6 ليقفوا في صف واحد؟

    1. أ) 15
    2. ب) 30
    3. ج) 360
    4. د) 1296

    الإجابة الصحيحة: ج) 360

    الترتيب مهم فنستخدم التباديل: 6×5×4×3=360.

    1. الوقوف في صف ← الترتيب مهم ← تباديل
    2. نضرب 4 عوامل تنازليًا من 6
    3. 6×5×4×3=360

    المفتاح: عدد العوامل المضروبة = عدد المختارين

    • أ) القانون البديل: استخدمتَ التوافق مع أن الوقوف في صف يجعل الترتيب مهمًا
    • ب) الحل الناقص: توقفتَ بعد عاملين 6×5 بدل أربعة عوامل
    • د) القانون البديل: سمحتَ بتكرار الشخص نفسه فحسبتَ 6^4

18. قارن بين القيمتين:

    في فصل 6 طلاب.

    القيمة الأولى: عدد طرق اختيار لجنة من طالبين — القيمة الثانية: عدد طرق اختيار رئيس ونائب له

    1. أ) القيمة الأولى أكبر
    2. ب) القيمة الثانية أكبر
    3. ج) القيمتان متساويتان
    4. د) المعطيات غير كافية

    الإجابة الصحيحة: ب) القيمة الثانية أكبر

    اللجنة لا يهم ترتيبها ((6×5)/2)=15، والرئيس ونائبه الترتيب مهم 6×5=30، فالثانية أكبر.

    1. اللجنة ← توافق =15
    2. رئيس ونائب ← تباديل =30
    3. الثانية أكبر

    المفتاح: منصبان مختلفان ← الترتيب مهم

    • أ) القانون البديل: عكستَ القانونين فحسبتَ اللجنة بالتباديل والرئيس ونائبه بالتوافق
    • ج) القانون البديل: تجاهلتَ أن الرئيس والنائب منصبان مختلفان فالترتيب فيهما مهم
    • د) الافتراض الخفي: ظننتَ أن نوع الاختيار غير معلوم مع أن صياغة السؤال تحدده

19. كم عدد الأعداد المكوّنة من رقمين مختلفين؟

    الأرقام المتاحة: 1 ، 2 ، 3

    1. أ) 9
    2. ب) 6
    3. ج) 3
    4. د) 4

    الإجابة الصحيحة: ب) 6

    الأعداد الممكنة: 12، 13، 21، 23، 31، 32، أي 6 أعداد.

    1. اكتب كل الاحتمالات: 12، 13، 21، 23، 31، 32
    2. استبعد ما يتكرر فيه الرقم
    3. العدد =6

    المفتاح: اسرد الاحتمالات كلها ثم طبّق الشرط

    • أ) سوء قراءة المطلوب: سمحتَ بتكرار الرقم (11، 22، 33) مع أن المطلوب رقمان مختلفان
    • ج) القانون البديل: اعتبرتَ 12 و21 عددًا واحدًا وتجاهلتَ أهمية الترتيب
    • د) البعيد: تخمين لا يستند إلى سرد الأعداد الممكنة

20. كم عدد الأعداد الزوجية المكوّنة من رقم واحد؟

    من بين الأرقام: 1 ، 2 ، 3 ، 4

    1. أ) 4
    2. ب) 2
    3. ج) 3
    4. د) 1

    الإجابة الصحيحة: ب) 2

    الأعداد الزوجية بين الاختيارات هي 2 و4 فقط.

    1. اختبر كل رقم: هل هو زوجي؟
    2. الزوجية: 2، 4
    3. العدد =2

    المفتاح: مرّ على كل الاختيارات واختبر الشرط عليها

    • أ) سوء قراءة المطلوب: عددتَ كل الأرقام ونسيتَ شرط الزوجية
    • ج) زلة حسابية: عددتَ أحد الأرقام الفردية زوجيًا خطأً
    • د) الحل الناقص: توقفتَ عند أول عدد زوجي وجدته (2)

حل كل أسئلة الدرس (١٠٠ سؤالاً)

اقرأ الشرح في الأطلس: شرح الاحتمال والأنماط والقسمة في القدرات الكمي